Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie
by Gino Loria · German · Gutenberg #33726 · 307,689 chars · public domain (US)
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Title: Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie
Author: Gino Loria
Translator: Fritz Schütte
Release date: September 14, 2010 [eBook #33726]
Language: German
Other information and formats: www.gutenberg.org/ebooks/33726
Credits: Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
file was produced from images from the Cornell University
Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN THEORIEN DER GEOMETRIE ***
Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online
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Transcriber's note: A few typographical errors have been corrected: they
are listed at the end of the text.
* * * * *
DIE HAUPTSAECHLICHSTEN
THEORIEN DER GEOMETRIE
IN IHRER FRUEHEREN
UND
HEUTIGEN ENTWICKELUNG.
HISTORISCHE MONOGRAPHIE
VON
DR. GINO LORIA,
PROFESSOR DER HOEHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITAET ZU GENUA.
------
UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSAETZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES
VERFASSERS
INS DEUTSCHE UEBERTRAGEN
VON
FRITZ SCHUETTE.
MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM.
LEIPZIG,
VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1888.
* * * * *
Druck von B. G. Teubner in Dresden.
* * * * *
Seiner teueren Mutter
als schwaches Unterpfand inniger Liebe
widmet diese Arbeit
der Verfasser.
{III}
* * * * *
Vorwort.
------
Diese deutsche Uebersetzung der im vergangenen Jahre in den _Memorie della
Reale Accademia delle Scienze di Torino_ (Ser. II, Bd. 38) erschienenen
Monographie des Herrn Gino Loria: _Il passato e il presente delle
principali teorie geometriche_, welche mein Schueler Herr Fritz Schuette
angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem
ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen Zusaetzen und
Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit
verglichen habe.
Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr
vorwaerts bringt, als es frueher in einem Jahrhundert geschah, welche uns
zu ungeahnten allgemeinen Anschauungen gefuehrt hat, zu besitzen, ist der
Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich
schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fuenfzig
Jahren, wo der _Apercu historique_ von Chasles erschien.
Herr Loria will seine "Chronik", wie er seine Schrift in der Einleitung
nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme
des grossen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie
anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunaechst seiner
Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit
sich, dass die Darstellung bisweilen auf eine blosse Aufzaehlung von Namen
und Schriften hinauslaeuft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es,
meine ich, dem {IV} Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen ich mir in
erster Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas ueber die
Anfaenge hinaus ist, eine anschauliche Uebersicht der hauptsaechlichsten
Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit vorzufuehren; fuer alle
Geometer aber werden die reichhaltigen Litteraturnachweise von grossem
Werte sein. Etwaige Luecken in denselben wird jeder, der unsere fast
unuebersehbare und den wenigsten vollstaendig zugaengliche mathematische
Litteratur kennt, dem Verfasser nicht anrechnen, und jede Mitteilung einer
wesentlichen Verbesserung oder Ergaenzung wird er gewiss gern
entgegennehmen, um seine Schrift noch wertvoller zu machen, falls ihr eine
neue Auflage beschieden wuerde.
Die Veraenderungen, welche diese Uebersetzung im Vergleich mit dem
italienischen Originale aufweist, bestehen, ausser stark vermehrten
Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der
Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die
Gestalt der Kurven und der Oberflaechen und die abzaehlende Geometrie
bezueglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen
Abschnitte.
Muenster i. W., Ende Mai 1888.
R. STURM.
{V}
* * * * *
Inhaltsverzeichnis.
------
Seite
Einleitung 1
I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts 3
II. Theorie der ebenen Kurven 21
III. Theorie der Oberflaechen 31
IV. Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen.
Abzaehlende Geometrie 60
V. Theorie der Kurven doppelter Kruemmung 71
VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen 80
VII. Geometrie der Geraden 98
VIII. Nicht-Euklidische Geometrie 106
IX. Geometrie von n Dimensionen 115
Schluss 124
Abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten Zeitschriften 130
Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist 132
{1}
* * * * *
Einleitung.
------
"Apres six mille annees d'observations l'esprit humain n'est pas
epuise; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut
trouver a l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes a ses
connaissances et a ses inventions." -- Bossuet.
Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der Mathematik
im besonderen[1] sind in diesen letzten Zeiten so betraechtlich gewesen,
fortwaehrend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, dass sich
lebhaft das Beduerfnis fuehlen macht, einen Rueckblick auf den schon
gemachten Weg zu werfen, welcher den Anfaengern ein leichteres Eindringen
in die Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres
Urteil gestattet, welches die Probleme sind, deren Loesung am dringendsten
ist.
Der Wunsch, diesem Beduerfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie
anlangt, d. h. soweit es den hoeheren Teil {2} unserer positiven Kenntnis
betrifft -- da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la geometrie nous
surpasse -- ist es, der mich veranlasst, vorliegende Abhandlung zu
schreiben.
Moege dieser unvollkommene Abriss die Veranlassung sein zu einer Schrift,
die der Erhabenheit ihres Zieles wuerdig ist; moege diese duerftige Chronik
der Vorlaeufer sein einer "Geschichte der Geometrie in unserem
Jahrhundert". {3}
* * * * *
I.
Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts.
------
"Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander
verknuepft, dass man vergebens versuchen wuerde, irgend einen Zweig der
Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick
auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen."[2] Wenn das im
allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein "bei einer
Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk
der vorhergehenden Periode nicht zerstoert, um an dessen Stelle neue Bauten
zu errichten".[3] Daher ist es unerlaesslich, dass ich, bevor ich an das
eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich ueber die
moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie zu
dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre Entwickelung
eingehender zu verfolgen.
Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein
fast unausfuehrbares Unternehmen. Die taeglichen Erfahrungen jedes
denkenden Menschen fuehren auf eine so natuerliche Weise zur Vorstellung
der einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer
gegenseitigen Beziehungen, dass man vergebens versuchen wuerde, den Namen
desjenigen zu nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu
welcher Zeit sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man
ueber die ersten Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich {4}
vornimmt, sie festzustellen, den umhuellt, wenn nicht voellige Finsternis,
so doch nur ein wenig Daemmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse
bedeutenderer Bruchstuecke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen
haben, zu erkennen. So kann ein solcher feststellen, dass die aeltesten
geometrischen Studien von den Aegyptern gemacht sind, und kann die
Erzaehlung Herodots wiederholen, nach welcher diesem Volke ein sehr
wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu befassen, durch die periodischen
Ueberschwemmungen des Nils gegeben wurde, welche, indem sie die Grenzen
zwischen den kleinen Besitzungen, in die Aegypten unter seine Einwohner
verteilt war, verwischten, sie noetigten, dieselben jedes Jahr wieder
herzustellen.[4] Die Haltbarkeit dieser Hypothese, um die Thatsache zu
erklaeren, dass in Aegypten die Wissenschaft, von der wir handeln, eifrig
betrieben sei, wird durch die praktische Natur der Gegenstaende bewiesen,
welche dort eingehender behandelt wurden: specielle Konstruktionen,
Messungen von Laengen, Flaecheninhalten, Volumen u. s. f.[5]
Indem die Kenntnisse der Aegypter nach Griechenland uebergingen, erhielten
sie durch Thales (640-540)[6] und die Anhaenger der ionischen Schule,
welche er gruendete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der
That der erste, der sich damit beschaeftigt hat, die von den Aegyptern
entdeckten Saetze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich
die Geometrie unter seinen Haenden noch nicht zur wahren Wissenschaft;
diese Wuerde erlangte sie erst {5} durch die Untersuchungen des Pythagoras
(nach einigen 569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schueler.
Ungluecklicher Weise aber bestand eine der Regeln, welche die Pythagoraeer
strenge beobachten mussten, darin, dass sie die Lehren, welche der Meister
vortrug, geheim halten mussten; daher kam es, dass der geometrische Teil
derselben allen, die nicht dieser Schule angehoerten, unbekannt blieb. Aber
nachdem das Haupt gestorben war, da suchten seine Anhaenger, als sie bei
den inneren Kaempfen, welche die Republiken Grossgriechenlands zerrissen,
besiegt worden waren, Zuflucht in Athen und offenbarten dort, von der Not
getrieben, die Geheimnisse, welche sie bis dahin so strenge verwahrt
hatten. Und der wohlthaetige Einfluss einer groesseren Verbreitung dessen,
was die Pythagoraeer von der Mathematik wussten, ist durch die wichtigen
Forschungen offenbar geworden, welche in der Folgezeit die griechischen
Gelehrten in der Periode, welche zwischen Pythagoras und Plato (429-348)
liegt, gemacht haben. Sie koennen in drei Kategorien geteilt werden,
benannt nach den beruehmten Problemen: der Dreiteilung des Winkels, der
Verdoppelung des Wuerfels, der Quadratur des Kreises, und fuehrten zur
Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der ebenen Geometrie.
Plato verdanken wir den ersten Anstoss zum methodischen Studium der
Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofuer der goettliche
Philosoph auf den Dank der Geometer Anspruch erheben koennte; denn ihm ist
auch die analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist,
und seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was
nicht weniger wichtig ist, die von den geometrischen Oertern.
Aus diesen gedraengten Angaben[7] wird man leicht entnehmen koennen, dass
die Bemuehungen der angefuehrten Geometer zu einer Fuelle von Eigenschaften
der Figuren und zu Methoden, sie zu erklaeren, gefuehrt und die Elemente
fuer eine methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten. {6}
Daher dauerte es nicht lange, dass vollstaendige Zusammenstellungen dessen,
was entdeckt war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur
eine einzige ist uns vollstaendig erhalten worden, _die Elemente_ des
Euklides, und das glaenzende Licht, welches von ihnen ausgeht, fuehrt uns
zu der Vermutung, dass alle die anderen Zusammenstellungen durch die
Vergleichung mit ihnen verdunkelt sind.
Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig angesehen
wird, "von dem man fuer die Entwickelung der Jugend diejenigen Resultate
erhoffen kann, mit Ruecksicht auf die bei allen zivilisierten Nationen der
Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in der Erziehung
der Jugend inne hat",[8] nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie ihren
Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der grossartige Bau der
griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die anderen
Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von Archimedes (287-212),
Eratosthenes (276-194) und Apollonius (ca. 200 v. Ch.) befinden.[9]
Diese beruehmten Gelehrten bezeichnen den Hoehepunkt der griechischen
Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz
einiger wichtiger Untersuchungen eines Hipparch (161-126) und eines
Ptolomaeus (125 bis ungefaehr 200), trotz der Arbeit eines genialen
Kommentators, wie Pappus war (derselbe lebte gegen Ende des {7} dritten
Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer
Periode voelliger Unthaetigkeit auf dem Gebiete der Geometrie.
Die Roemer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes
Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, in
welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren
Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu
erreichen suchten, die fuer die Beduerfnisse des taeglichen Lebens
ausreicht.[10]
{8}
Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer laengeren
Eroerterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze
Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem
man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. Man
kann nur erwaehnen, dass die vielfachen in dieser Zeit errichteten heiligen
Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines grossen Dichters so zahlreich und
kuehn waren, weil sie die einzigen der menschlichen Intelligenz damals
erlaubten Aeusserungen darstellen, Kunde davon geben, dass derjenige Teil
unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister unentbehrlich ist, auch in
dieser Zeit im allgemeinen bekannt war.
Diese fuer unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet
ansehen mit Leonardo Fibonacci (etwa 1180-1250); erst als von diesem
ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa uebergefuehrt worden war,
und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluss ausuebten, da hatte diese
Periode der wissenschaftlichen Unthaetigkeit ein Ende, und es beginnt eine
neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern muessen, da in ihr
unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte
diese Periode, wenn sie auch von grosser Bedeutung fuer die analytischen
Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen.
Cardano (1501-1576), Scipio Ferro (?-1525), Tartaglia (1500-1559), Ludovico
Ferrari (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die dieser Periode
angehoeren, haben den Ruhm, in unserem Lande die Entwickelung eines der
wichtigeren Teile der Analysis, naemlich der Theorie der Gleichungen,
bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung einiger der schwierigsten
Teile derselben gefoerdert zu haben, dank den oeffentlichen
wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine charakteristische
Eigentuemlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen ueberlieferten {9} sie die
Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben Zustande, in welchem sie
dieselbe von den Griechen und den Arabern erhalten hatten.[11]
Nach dem Tode dieser tapferen Kaempen ging der Primat in der Mathematik
ueber die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines Vieta
(1540-1603) und eines Fermat (1590-1663) uebernommen. Durch sie bereicherte
sich die Geometrie mit Loesungen, die man vorher vergebens gesucht hatte.
Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte,
wieder hergestellt.
Nicht viel spaeter vermehrten Pascal (1623-1662) und Desargues (1593-1662)
das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen
Methoden und neuen Saetzen[12]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen
blieben {10} viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem
analytischen Geiste, dessen ueberwiegender Einfluss sich schon geltend
gemacht hatte, unterdrueckt wurden.
Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht ein
solches, dass es die Geometer die Probleme, deren Loesung man seit langer
Zeit und so lebhaft gewuenscht hatte, vergessen liess. Zwischen den
Bestrebungen dieser Zeit und den Wuenschen der Gelehrten erhob sich in der
Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstosse
verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der
faehig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen
erleuchten sollte;[13] es entstand die analytische Geometrie (1637).
Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in
einigen praktischen Regeln der Maler, der aegyptischen Astronomen und der
roemischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute
rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die
Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit
geometrische Betrachtungen auf die Loesung der Gleichungen angewandt
hatten,[14] wenn auch schon Vieta die Abscissen gebraucht hatte, um
vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn schliesslich
Nicolaus Oresme (ca. 1320-1382) und Fermat mehr oder weniger bewusst sich
der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar Descartes
(1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle
Einsicht von der Moeglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die
nach irgend einem Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen,
gehabt und der den ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus
ihrer {11} unerwarteten Vereinigung ziehen koennen, erkannt hat. Mit Recht
wird daher Cartesius' Namen immer mit der Entdeckung der analytischen
Geometrie verbunden bleiben.[15]
Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu loesen
gestattete, welche die Alten fuer unangreifbar hielten, liess die
Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides,
Archimedes und Apollonius eroeffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine
Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu
gelangen, sie eingeschlagen haette.
Die kurz nach Descartes gleichzeitig von Leibniz (1646-1716) und Newton
(1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade diese Richtung,
da sie bewirkten, dass man sich um diejenigen Probleme nicht bekuemmerte,
deren Loesung nicht geeignet war, die Allmacht der Methoden, welche die
Welt diesen unsterblichen Geistern verdankt, hervortreten zu lassen,
derartig, dass man sagen kann, dass mit Ausnahme der _Philosophiae
naturalis principia mathematica_ (1686) von Newton und einiger Seiten von
Huygens (1629-1695),[16] von La Hire (1640-1718),[17] von Halley
(1656-1742),[18] Maclaurin (1698-1746),[19] Simpson (1687-1768),[20] von
Stewart {12} (1717-1785)[21] keine mathematische Produktion jener Zeit dem
angehoert, was wir heute synthetische Geometrie zu nennen pflegen.[22]
Das hindert aber nicht, dass man diese Periode ohne Bedenken zu den
erfreulichsten fuer die Geometrie rechnen muss. In der That ist der
groessere Teil der Probleme, welche von den Erfindern der
Infinitesimalrechnung und ihren unmittelbaren Schuelern aufgestellt oder
geloest worden, unter die wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da
sie die interessantesten und verstecktesten geometrischen und mechanischen
Eigenschaften der Kurven und Oberflaechen beruehren. Wir sehen daher, dass
nicht allein die Zahl der Kurven, welche einer naeheren Betrachtung wert
sind, sich ausserordentlich vermehrt,[23] sondern auch -- was viel
wichtiger ist --, dass die Betrachtung von Singularitaeten einer Kurve und
anderer neuer mit dieser verbundener Elemente eingefuebrt wird, und dass
infolge dessen Untersuchungsgebiete sich eroeffnen, deren Existenz man
vorher gar nicht geahnt hatte.
Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Aufloesung einer so
grossen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb
natuerlich die Geometer an, {13} eine aehnliche fuer das Studium der
Raumkurven und der Oberflaechen zu schaffen. Daher entstand eine
Verallgemeinerung dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte,
und die Schooten (16..-1661)[24] in weiterer Ausfuehrung veroeffentlichte.
Diese Andeutungen liessen bei Parent (1666-1716) den Gedanken entstehen,
eine Oberflaeche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines
ihrer Punkte darzustellen,[25] und bereiteten deshalb die analytische
Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen
Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung
von Clairaut (1715-1765),[26] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit
einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Kruemmung
bezueglichen Problemen loeste, welche ihre entsprechenden in der Ebene
finden. Bald nach Clairaut schuf Euler (1707-1783) die analytische Theorie
der Kruemmung der Oberflaechen (1760)[27] und wandte die analytische
Methode an, um eine Klassifikation der Oberflaechen zweiten Grades zu
erhalten, gegruendet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche den
Alten dazu gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen, Parabeln
und Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehoert der zweiten Haelfte des
vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von Monge (1746-1818) an. Dieser
verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen,
welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der Gleichung
einer Geraden einfuehrte. Er stellte den wichtigen Begriff von
Flaechenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte
(Regelflaechen, abwickelbare, Roehrenflaechen, "Surfaces moulures"),
entdeckte er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie
der Oberflaechen und der Integration der partiellen
Differentialgleichungen, {14} was Licht in diese, wie in jene Lehre brachte
und den Geometern neue Gesichtspunkte enthuellte.[28]
Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und Italien
an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben, zuerst
unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und Deutschland.
Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehoert hatte "zu
rechnen und zu leben",[29] stellte sich Frankreich wieder an die Spitze der
mathematischen Welt. Nicht allein mit Clairaut, d'Alembert (1716-1783),
Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), Poisson
(1781-1840) und anderen gab es den Anstoss zum Studium der reinen und
angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit Monge, Carnot (1753-1823)
und Poncelet (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der geometrischen Formen
zurueck, in der Weise, wie es die Alten verstanden.
Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen Regeln
vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten, um die
Beduerfnisse der Kunst zu befriedigen, und gluecklich die Luecken
ausfuellte, die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen
Zweig der Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen
Buche, welches er dieser Disziplin widmete,[30] und noch viel mehr mit
seinen unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule
hielt, brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte
Anschauung der Figur stuetzt, zu Ehren[31] und, indem {15} er die
Vorstellung der geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte,
machte er jene systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen
auf das Studium der ebenen Figuren moeglich, welche Pappus schon erkannt
hatte.[32]
Der _Geometrie descriptive_ von Monge darf man die _Geometrie de position_
von Carnot[33] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das
Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen,
welche man ausschliesslich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als
jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten,
welchen man von dem Erscheinen des _Traite des proprietes projectives des
figures_ (1822)[34] datieren kann.
Um zu ueberzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genuegen, zu
erwaehnen, dass gerade in dem {16} grossen Werke von Poncelet die Macht der
Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips der
Kontinuitaet als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt
ist;[35] dass das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder
raeumlicher Systeme in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen
zwei Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen fuehrte; dass die
Kenntnisse der Alten ueber die Polaritaet in Bezug auf einen Kegelschnitt
und die von der Mongeschen Schule gewonnenen ueber die Polaritaet in Bezug
auf eine Flaeche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt
finden, das Gesetz der Dualitaet vorbereiteten, welches, von Snellius
(1581-1626)[36] und Viete[37] in der sphaerischen Geometrie erkannt,
bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre spaeter von
Gergonne (1771-1859)[38] ausgesprochen zu werden; dass sich schliesslich
dort jene eleganten Untersuchungen ueber die Vielecke, die einem
Kegelschnitt ein- und einem anderen umbeschrieben sind, finden, die Jacobi
(1804-1851), Richelot (1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten,
davon eine der elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen
Funktionen zu machen, welche man kennt.[39]
Die Abhandlungen, welche Poncelet der Theorie der harmonischen Mittel, der
reciproken Polaren und der {17} Transversalen widmete, sowie andere weniger
bedeutende von Gelehrten, welche zur Mongeschen Schule gehoerten, fuehren
uns zum Jahre 1837, in welchem Chasles' (1796-1880) _Apercu historique sur
l'origine et le developpement des methodes en geometrie_[40]
veroeffentlicht wurde. In diesem unuebertrefflichen Werke brachte der
Autor, nachdem er in bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der
reinen Geometrie in seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte
zur Geltung, die sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von
den blinden Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte
durch wichtige und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich
zum Beschuetzer der Sache der Geometrie gemacht hatte.[41]
Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen
Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem
Schlafe geruettelt, in welchen die einschlaefernden Arbeiten der Schule
{18} der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete
einen neuen Uebergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach
Deutschland.[42] In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie
Moebius (1790-1868),[43] Steiner (1796-1863),[44] {19} Pluecker
(1801-1868)[45] und von Staudt (1798-1867)[46] die analytische Geometrie
sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre
Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und
die abgekuerzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie
Hilfsmittel erwerben fuer das Studium, der Kurven und Oberflaechen, die bis
dahin fuer dieselbe unerreichbar {20} waren, sowie fuer die Gruendung einer
reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhaengig ist von dem
Begriffe des Masses. Dank dem von Crelle (1780-1855) in dieser Zeit
gegruendeten Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte,
vorzueglich durch die Abhandlungen Abels (1802-1829), Jacobis und Steiners
verbreiteten sich die eben angefuehrten Resultate schnell. Und so sehen wir
hinter diesen Groessen eine zahlreiche und glaenzende Anzahl von Schuelern,
welche, indem sie Aehren lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern
bebaut waren, die Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut
hatten.
Hiermit will ich den Abriss der geistigen Bewegung, welche die neuesten
geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich
muss mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die
vorgenommene Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich
meine Darstellung in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit
der Theorie der ebenen Kurven und der Oberflaechen beschaeftigen, dann,
nach einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen ueber die Gestalt der
Kurven und Oberflaechen und ueber die abzaehlende Geometrie, werde ich mich
mit den Studien ueber die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des
Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen
Transformationen ueberzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der
Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der
Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu schliessen.[47]
{21}
* * * * *
II.
Theorie der ebenen Kurven.
------
Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der
cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gruende fuer die Thatsache
anzugeben, dass das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu
diesem Zeitpunkte verzoegert hatte. In der That sind ja die Definition der
Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in
algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung
allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie
synthetisch zu bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage
erst den wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt;
dagegen, wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache
ist es dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander
zu verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen!
Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestaetigt,
dass kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen
Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen,
welche Newton in den drei beruehmten Theoremen, die in seiner _Enumeratio
linearum tertii ordinis_ (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner
diejenigen, welche Newtons Schueler Cotes (1682-1716) und Maclaurin als
eine Verallgemeinerung der von Newton entdeckten Eigenschaften gaben;[48]
{22} schliesslich die von Waring (1734-1798)[49] gefundenen. Ueberdies
wurden noch von Maclaurin[50] und Braikenridge (etwa 1700, + nach 1759)[51]
einige interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefuegt,
die aehnlich denjenigen waren, welche Newton fuer die Kegelschnitte gegeben
hat.[52] Endlich wurden von De Gua (1712-1786)[53] Methoden fuer die
Bestimmung der Singularitaeten der durch Gleichungen definierten ebenen
Kurven angegeben.
Es ist ueberfluessig zu sagen, dass die ersten methodischen Bearbeitungen
der Theorie der ebenen Kurven unter dem Einfluesse der analytischen
Geometrie stehen; wir verdanken solche Euler[54] und Cramer
(1704-1752)[55]. Diese studierten dieselben von Grund auf (kurz
nacheinander, der eine 1748, der andere 1750), indem sie sich vorzugsweise
mit den Singularitaeten befassten, besonders mit den Fragen, welche man
heute mit Hilfe der Geometrie des unendlich Kleinen loest. In dem Werke von
Cramer, das in vielen Beziehungen zu bewundern ist, finden wir auch schon
die ersten Untersuchungen ueber die Schnitte von Kurven und unter diesen
auch den Hinweis auf das, was man spaeter "das Cramersche Paradoxon"
genannt hat; das ist jener scheinbare Widerspruch zwischen der Zahl der
Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve von gegebener Ordnung noetig {23}
sind, und der Zahl der Schnitte zweier Kurven derselben Ordnung,[56] ein
Widerspruch, welcher viele Jahre spaeter (1818) von Lame (1795-1870) durch
das beruehmte Prinzip aufgehoben wurde, welches seinen Namen traegt und das
man als den Grundstein jenes gewaltigen Bauwerkes ansehen muss, welches aus
einer Fuelle von Lehrsaetzen von Gergonne,[57] Pluecker,[58] Jacobi,[59]
Cayley[60] errichtet ist, und auf dessen Gipfel die geometrische
Interpretation des beruehmten Abelschen Theorems[61] steht.
Nach den Arbeiten Eulers, Cramers und dem _Examen des differentes methodes
employees pour resoudre les problemes de geometrie_, in welchem Lame mit
grossem Erfolge das vorhin angefuehrte Prinzip auseinandergesetzt und
angewandt hatte, muessen wir uns zu Pluecker wenden, um zu Arbeiten zu
kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns
beschaeftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten
Geometer veroeffentlichten _System der analytischen Geometrie_ ist von der
Methode der abgekuerzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe fuer die
Vervollstaendigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt
worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier
Jahre spaeter gedruckten {24} _Theorie der algebraischen Kurven_[62] findet
sich dann noch ausser einer Aufzaehlung der ebenen Kurven vierter
Ordnung,[63] welche Bragelogne (1688-1744)[64] und Euler[65] nur versucht
hatten, die Aufstellung und Loesung einer Frage von sehr grosser
Wichtigkeit, derjenigen naemlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der
gewoehnlichen Singularitaeten einer ebenen Kurve zu finden. Schon Poncelet
hatte (1818) den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer
allgemeinen Kurve ihrer Ordnung gefunden und spaeter den Einfluss eines
Doppelpunktes bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der
Dualitaet anwandte, stiess er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch,
welchen wir heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne dass es ihm
gelang, dafuer eine vollstaendige Erklaerung zu finden. Das geschah durch
Pluecker vermittelst der beruehmten nach ihm benannten Formeln, welche
gestatten, drei Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse,
Zahl der Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der
Rueckkehrpunkte), wenn man die uebrigen kennt.
Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die
Plueckerschen Formeln geloesten ist, ob jeder Loesung derselben eine
wirkliche Kurve entspreche, musste man negativ antworten, da neuere
Untersuchungen {25} dargethan haben, dass fuer gewisse Kurven (die
rationalen Kurven) die Zahl der Rueckkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht
uebersteigen kann.[66]
Auf der anderen Frage, die Plueckerschen Formeln auf eine Kurve
auszudehnen, welche mit Singularitaeten hoeherer Ordnung ausgestattet ist,
beruhen die Untersuchungen von Cayley und anderen,[67] welche zu dem
Schluesse gefuehrt haben, dass jede Singularitaet einer Kurve als
aequivalent einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen,
Wendetangenten und Doppeltangenten betrachtet werden kann.
Ich fuege noch hinzu, dass man durch Jacobi,[68] Hesse (1811-1874),[69]
Salmon,[70] Cayley[71] und deren zahlreiche Kommentatoren[72] heute im
Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch
eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Beruehrungspunkte ihrer
Doppeltangenten anzugeben.
Dank dem einen der ueberaus wertvollen Lehrbuecher,[73] mit welchen Salmon
so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen
Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich ueber diese und
viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen
Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.
{26}
Man braucht aber nicht zu glauben, dass bei diesem Studium der
fortwaehrende Gebrauch der Analysis unumgaenglich sei; vielmehr erhob sich
bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer,
Pluecker, Salmon eine ebenso vollstaendige, aber mehr geometrische Theorie.
In einer beruehmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie
gemacht wurde, zeigte Steiner, indem er die Theorie der Polaren eines
Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche Bobillier
(1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven
Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch Grassmann (1809-1877)
sich beschaeftigt hatte,[75] dass dieselbe als Grundlage fuer ein vom
Gebrauche der Koordinaten unabhaengiges Studium der ebenen Kurven dienen
kann, und fuehrte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten
Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen
Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von Steiner selbst, von
Chasles[76] und Jonquieres[77] ueber die Entstehung der algebraischen
Kurven vermittelst projektiver Bueschel von Kurven niederer Ordnung,
dienten als Grundlage fuer die _Introduzione ad una teoria geometrica delle
curve piane_,[78] in {27} welcher Cremona in einer einheitlichen Methode
zugleich mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was
wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten
worden war.
Bei dem ausserordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, dass
man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von
Abhandlungen zu stellen hat, in welchen Clebsch (1833-1872) zuerst die
Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat,
dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve
ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und
Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und
sie fuer das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benuetzte.[80]
Es ist wahr, dass Brill und Noether in einer Abhandlung,[81] deren
Bedeutung von Tag zu Tag waechst, gezeigt haben, dass die Theorie der
algebraischen Funktionen in vielen Faellen die der eben angefuehrten
Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern
vergroessert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von Clebsch
zuerkennen muss, da die von hervorragenden Geistern gemachten
Anstrengungen, den Gebrauch eines {28} Hilfsmittels vermeiden zu koennen,
der ueberzeugendste Beweis der Macht desselben sind.
Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln allgemeine Eigenschaften der
ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine grosse Menge
von schoenen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von
Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen.
Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin,[83] von
Sylvester,[84] Cayley,[85] Salmon,[86] Durege,[87] Cremona,[88] von
Sturm,[89] von Kuepper,[90] Grassmann,[91] Milinowski[92] und von anderen
ueber die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des _Barycentrischen
Calculs_, dann verschiedene Arbeiten von Em. Weyr,[94] von Clebsch und {29}
vielen anderen[95] ueber die rationalen Kurven; die wichtigen
Untersuchungen Steiners und Chasles' ueber die Kurven, die mit einem
Centrum versehen sind,[96] und die von Steiner ueber die dreispitzige
Hypocykloide;[97] ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der
Verallgemeinerung der dort ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[98]
die interessanten Untersuchungen von Bertini[99] ueber rationale Kurven,
fuer welche man willkuerlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die
wichtigen Studien von Brill ueber die Kurven vom Geschlechte zwei,[100]
dann die eleganten Abhandlungen von Klein und Lie[101] ueber die Kurven,
welche eine infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich
die von Fouret ueber die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in
bezug auf unendlich viele Kegelschnitte sind,[102] und die von Smith
(1826-1883) ueber die Singularitaeten der Modularkurven.[103]
{30}
Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung
von Steiner ueber die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve
vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf
welche die juengsten Arbeiten von Kuepper[105] und Schoute[106] von neuem
die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes
noetigt mich, fluechtig hinwegzugehen ueber die Untersuchungen von Cayley
_On polyzomal Curves otherwise the Curves_ [Wurzel]u + [Wurzel]v + ... =
0;[107] von Grassmann, Clebsch,[108] Schroeter[109] und Durege,[110]
betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, ueber die von
Lueroth,[111] von Casey,[112] Darboux,[113] Siebeck,[114] von Crone,[115]
Zeuthen[116] und noch anderen ueber einige spezielle ebene Kurven vierter
Ordnung, ueber die von Battaglini, die sich auf die syzygetischen Kurven
dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine besondere
Erwaehnung verdienen wuerden.
{31}
Was ich aber nicht mit Stillschweigen uebergehen kann, das sind die
Arbeiten von Hesse ueber die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und
ueber die Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die von
demselben Hesse,[119] Steiner,[120] Aronhold[121] (1819-1884) ueber die
Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende
Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins
Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von Geiser[122] durch
stereometrische Betrachtungen dargethan, von Clebsch[123] dagegen und
Roch[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.
* * * * *
III.
Theorie der Oberflaechen.
------
Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen
Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluss der Analysis auf dieselbe
mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu,
sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschaeftigen, welche Analogien
mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn
auch die Forschungen ueber die Oberflaechen {32} bald denen ueber die
ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren
Ursprungs.
Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere
Oberflaechen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und
Sphaeroide, die plektoidischen Oberflaechen und wenige andere). Erst Wren
(1669), Parent und Euler begannen sich mit den Oberflaechen zweiten Grades
zu beschaeftigen, und wir muessen zur Schule von Monge gehen, um die
Eigenschaften von groesserer Wichtigkeit dieser hoechst bemerkenswerten
Oberflaechen anzutreffen.[125] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in
unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die
Flaechen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele
andere hinzugefuegt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter,
wie Jacobi,[126] {33} MacCullagh (1809-1847),[127] Chasles,[128]
Hesse,[129] Seydewitz (1807-1852),[130] Schroeter[131] konnte die Theorie
der Oberflaechen zweiter Ordnung in den mehr elementaren {34} Unterricht
eingefuehrt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem
Wege behandelt werden.[132]
Aber nach der Lehre von den Oberflaechen zweiten Grades entstand und
entwickelte sich alsbald die der Oberflaechen hoeherer Ordnung.
Chasles[133] und Gergonne,[134] als die ersten, entdeckten an diesen
Gebilden wunderbare Eigenschaften. Poncelet bestimmte die Klasse einer in
ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberflaeche[135] und eroeffnete so
die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen fuehren sollten, mit welchen
Salmon[136] und Cayley[137] die Loesung der analogen Aufgabe zu derjenigen
versuchten, welche Pluecker durch seine beruehmten Formeln geloest hatte.
Jacobi[138] und spaeter Reye[139] beschaeftigten sich mit den Kurven und
Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflaechen
entstehen. Chasles,[140] Cremona,[141] Reye,[139] Escherich,[142]
Schur,[143] mit ihrer {35} Entstehung vermittelst projektiver oder
reciproker Systeme von Oberflaechen niederer Ordnung, Grassmann
(1809-1877)[144] mit anderen Erzeugungsweisen; Salmon,[145] Clebsch,[146]
Sturm,[147] Schubert[148] und andere behandelten eine wichtige Klasse von
Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen
Oberflaeche Beruehrungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schliesslich
entdeckte Schur vor kurzem eine lineare Konstruktion[149] fuer Flaechen
beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der
Oberflaechen beliebiger Ordnung verdanken wir Reye.[150]
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kuerze halber
stillschweigend uebergehen muss, trotz der schoenen Darlegungen, welche
Salmon[151] und Cremona[152] ueber sie gemacht haben, kann man doch nicht
sagen, dass die Theorie der Oberflaechen weit vorgeschritten sei. Die
Fragen, die noch zu loesen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler
Wichtigkeit, und die Mittel, die zur Ueberwindung der Schwierigkeiten,
welche deren Loesung bietet, zur Verfuegung stehen, sind noch nicht
genuegend vervollkommnet. Vielleicht ist das der Grund dafuer, dass so
viele Gelehrte sich zum Studium besonderer Flaechen wandten, indem sie
hofften, nicht nur auf diesem Felde eine reichlichere Ernte von Wahrheiten
zu machen, sondern auch zu Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der
Verallgemeinerung faehig sind. -- Und {36} dass ihre Erwartungen teilweise
nicht getaeuscht worden sind, das beweisen die zahlreichen Resultate, die
man schon ueber die Oberflaechen dritten Grades, sowie ueber einige von der
vierten Ordnung erhalten hat, ueber welche es mir noch obliegt, Bericht zu
erstatten.
Es ist allgemein bekannt, dass die beiden hervorragendsten Eigenschaften
einer Flaeche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein
Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die
Geraden der Hesseschen Flaeche jener Oberflaeche hat. England und
Deutschland koennen sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn
auch schon im Jahre 1849 Cayley und Salmon[153] die Geraden einer kubischen
Flaeche bestimmt haben, und im Jahre 1851 Sylvester[154] das Pentaeder
entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, dass Steiner unabhaengig von
ihnen die Existenz jener und dieses in seiner beruehmten Mitteilung, welche
er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[155] Aber
waehrend die Studien der englischen Geometer fast gaenzlich der Fortsetzung
entbehren,[156] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen
Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflaechen dritter
Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich
die Abhandlungen von Schroeter,[157] August[158] u. s. w., in welchen
einige der von Steiner ausgesprochenen Saetze bewiesen werden, nur kurz
erwaehne, will ich mich darauf beschraenken, die Aufmerksamkeit der Leser
auf die mit Recht beruehmten Schriften zu lenken, die von {37} Cremona[159]
und von Sturm[160] ueber diese Oberflaechen verfasst und im Jahre 1866 von
der Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekroent sind, Arbeiten, auf
welche jeder zurueckkommen muss, welcher sich mit diesen wichtigen
geometrischen Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten
bei den verschiedenen Erzeugungsweisen einer Flaeche dritter Ordnung, die
Grassmann,[161] August,[162] Affolter[163] und Piquet[164] den von Steiner
angegebenen hinzugefuegt haben, bei der Konstruktion dieser Flaechen,
welche Le Paige[165] gegeben hat, bei den vielen Saetzen, die sich auf die
Verteilung der Geraden, der dreifach beruehrenden Ebenen und die Kurven
einer kubischen Flaeche beziehen und welche vor kurzem von Cremona,[166]
Affolter,[167] von Sturm[168] und Bertini[169] entdeckt wurden, endlich bei
den von Cremona,[170] Caporali,[171] Reye[172] und Beltrami[173] studierten
Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Flaeche dritter Ordnung
verknuepft sind, sowie bei den von Zeuthen[174] betrachteten zwoelf {38}
vollstaendigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch
anfuehren, dass eine Einteilung dieser Oberflaechen, die auf die
Betrachtung der 27 auf ihr gelegenen Geraden sich stuetzt, von Schlaefli
gemacht ist[175] und eine neuere von Rodenberg,[176] die sich auf das
Pentaeder gruendet, dass ferner ein genaues und eingehendes Studium der
Regelflaechen dritten Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den
Gegenstand wertvoller Arbeiten Cremonas,[177] Em. Weyrs[178] und Benno
Kleins[179] bildet, dass schliesslich die sogenannte Diagonalflaeche einen
wichtigen Teil in einer Untersuchung von Clebsch ueber die Gleichungen
fuenftes Grades bildet[180] und dass andere besondere Faelle von
Cayley[181] und Eckardt[182] in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet
wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, dass die Untersuchungen von
Salmon,[183] Clebsch,[184] Gordan[185] und de Paolis[186] die {39}
geometrische Bedeutung fuer das Verschwinden der fundamentalen invarianten
Formen der quaternaeren kubischen Form festgestellt haben, welche gleich
Null gesetzt in homogenen Koordinaten eine Flaeche dritter Ordnung
darstellt, dass schliesslich Jordan[187] von Grund auf die Natur der
Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der Geraden einer kubischen
Flaeche dient, dann glaube ich dem Leser genug Momente an die Hand gegeben
zu haben, um daraus den (von mir eben angedeuteten) Schluss zu ziehen, dass
die Theorie dieser geometrischen Gebilde, von welchem Punkte man sie auch
betrachten mag, heute einen beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht
hat.
Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflaechen vierten
Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer
studiert; ueber jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle
will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flaechen
zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flaechen vierten
Grades; jene wurde von Poncelet[188] und Chasles[189] untersucht, diese von
demselben Chasles,[190] von Cayley[191] und vollstaendiger von
Cremona.[192]
Dann lasse ich die Oberflaechen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen
von Kegelschnitten existieren und welche alle mit ausserordentlichem
Scharfsinne von Kummer[193] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei
besonderer Erwaehnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen
gewesen sind: die Oberflaeche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt
und die roemische Flaeche von Steiner.
Von der ersteren entdeckte Kummer im Jahre 1864 die bemerkenswerte
Eigenschaft, dass die ihr doppelt {40} umgeschriebene Developpabele aus
fuenf Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand Moutard[194]
dieselbe Eigenschaft fuer den Fall, dass die Doppelkurve der Oberflaeche
der unendlich entfernte imaginaere Kugelkreis ist,[195] und er bemerkte
weiter gleichzeitig mit Darboux,[196] dass in diesem Falle die Oberflaeche
zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflaechen, gebildet von
Flaechen derselben Art, gehoeren kann. Von jener Zeit ab wurden die
Oberflaechen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich
entfernten imaginaeren Kugelkreis haben, wiederholt von Darboux,[197] von
Laguerre (1834-1886)[198] und von Casey[199] studiert; hingegen diejenigen,
welche als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von
Cremona,[200] Geiser,[201] Sturm,[202] Zeuthen,[203] von Clebsch,[204]
Korndoerfer,[205] Berzolari[206] und Domsch[207] -- welcher auf sie die
hyperelliptischen Funktionen anwandte -- und diejenigen, welche einen
Kuspidalkegelschnitt haben, von Toetoessy.[208] Was die Klassifikation
dieser Oberflaechen betrifft, so moege {41} es mir gestattet sein, meinen
Namen anzufuehren[209] neben dem meines teuern Freundes Segre.[210]
Die roemische Flaeche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der
Geometer auf sich gezogen und zwar vorzueglich zweier Eigenschaften wegen;
die eine derselben, naemlich von jeder Tangentialebene in zwei
Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern
betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich
als ganz allgemeine ternaere quadratische Formen darstellen lassen,[211]
wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle
Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[212] wird dieselben in
den synthetischen Abhandlungen von Cremona,[213] Schroeter[214] und
Sturm,[215] auf den Seiten, welche Reye ihr in seiner {42} _Geometrie der
Lage_ (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von
Cayley,[216] Beltrami,[217] Clebsch,[218] Eckardt,[219] Laguerre[220] und
Gerbaldi[221] finden.
Kummer verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von
Flaechen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflaechen, die nicht
singulaere Linien enthalten, sondern nur singulaere Punkte.[222] Wir werden
in kurzem (s. VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen
Oberflaechen gefuehrt haben; fuer jetzt genuege es, hervorzuheben, dass die
interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberflaeche
nennt) 16 singulaere Doppelpunkte und 16 singulaere Tangentialebenen hat
und dass Specialfaelle derselben die Wellenflaeche von Fresnel[223] und das
von Cayley 1846 untersuchte Tetraedroid[224] sind. Eine solche Oberflaeche
ist zu sich selbst dual.[225] Ihre {43} asymptotischen Kurven wurden von
Klein und Lie bestimmt[226] und Reye[227] zeigte, dass jede die Grundkurve
eine Bueschels von Oberflaechen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den
Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche Cayley und
Borchardt (1817-1880)[228] entdeckt haben und die H. Weber[229] zusammen
mit anderen entwickelt hat;[230] die algebraischen Fragen, welche sich an
die Bestimmung ihrer Singularitaeten knuepfen, wurden von Jordan[231]
geloest; endlich kann man dieselbe, wie Rohn[232] es gethan hat,
vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen[233] behandeln.
Indem ich die Oberflaechen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in
zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt
haben und andere, mit denen Cayley[234] sich beschaeftigt hat, uebergehe,
will ich noch die Monoide erwaehnen,[235] die von Rohn studiert sind,[236]
und {44} diejenigen Flaechen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse
Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen
vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Raeumen sich schneiden;
Chasles hat ihre Ordnung bestimmt und Schur eine Menge eleganter
Eigenschaften derselben gefunden.[237]
Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschliessen, indem ich noch
einige Oberflaechen von hoeherer als der vierten Ordnung anfuehre, welche
die Gelehrten schon beschaeftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen
Oberflaechen erwaehnt zu werden, welche im allgemeinen von Chasles,[238]
Salmon,[239] Cayley,[240] von Pluecker,[241] La Gournerie (1814-1883),[242]
Voss[243] und im besonderen von Chasles,[244] Cremona,[244] Schwarz,[245]
La Gournerie[246] (Regelflaechen, die in bezug auf ein Tetraeder
symmetrisch sind), von {45} Clebsch,[247] Armenante[248] (rationale und
elliptische Regelflaechen), von Em. Weyr[249] (Regelflaechen, erzeugt durch
die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in
der Korrespondenz [m, n]), von Ed. Weyr[250] (Oberflaechen, erzeugt durch
die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von Eckardt[251] und
Chizzoni[252] (Regelflaechen, erzeugt durch die Verbindungslinien
entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann
folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflaechen sind, doch Gerade
enthalten und die von Sturm[253] und Affolter[254] untersucht sind, ferner
die algebraischen Minimalflaechen, bei welchen Geiser[255] und Lie[256]
bemerkenswerte Eigentuemlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige
Flaechen nennen, die aus einer Oberflaeche zweiten Grades abgeleitet sind
(Ort der Kruemmungscentren; Fusspunktflaechen, Aspidalflaechen etc.), sowie
die Oerter der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade beruehren und
durch (6-m) Punkte gehen, welche Flaechen eingehend von Chasles,[257]
Lueroth,[258] Hierholzer[259] und von Cayley[260] studiert wurden, da sie
zur Aufloesung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der
einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten;
schliesslich diejenigen, welche unendlich viele lineare {46}
Transformationen zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;[261]
diejenigen, welche die eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich
viele Flaechen zweiten Grades sind,[262] diejenigen, welche durch reciproke
Cremonasche Systeme erzeugt werden,[263] und diejenigen, welche dieselben
Symmetrie-Ebenen wie ein regulaeres Polyeder besitzen.[264]
Die Untersuchungen ueber die Oberflaechen, mit denen wir uns bis jetzt
beschaeftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl
bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie
zurueckgefuehrt sind oder sich darauf zurueckfuehren lassen. Es giebt aber
noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art
behandeln, die groesstenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten
lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehoert, nicht die
der projektiven Geometrie ist.[265] Diese bilden zusammen mit den Studien,
die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (ueber
welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr
wichtigen Zweig der Geometrie fuer sich sowohl, als auch wegen der
Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodaesie und der mathematischen
Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der
Differentialgeometrie. Ueber die wesentlichen Punkte derselben wollen wir
nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von
dem Erscheinen der _Application de l'Analyse a la Geometrie_[266] {47} von
Monge datieren kann, und das spaetere Werk, welches von groesserem
Einfluesse war, das von Gauss (1777-1855) ist, welches den Titel traegt:
_Disquisitiones generales circa superficies curvas_,[267] so nehmen wir in
unserer kurzen Darlegung die von Monge und Gauss angenommene Einteilung des
Stoffes als Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in
Hinsicht auf die von ihnen behandelten Gegenstaende geleistet haben, und
dann vorfuehren, was ihre Nachfolger hinzugefuegt haben.
Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse,
da er nur die Bestimmung der Beruehrungsebenen und Normalen einer
Oberflaeche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden.
Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflaechen, Kegel-
und Rotationsflaechen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu
gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen
Leitgeraden enthalten sind. Hoechst bemerkenswert ist der folgende
Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den
wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rueckkehrkurve (_arete de
rebroussement_) einer Enveloppe eingefuehrt hat; an diesen Paragraphen
schliessen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Roehrenflaechen
mit ebener Leitlinie (s. 7), Flaechen, die als Linien groesster Neigung
gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (s. 8), und
schliesslich Enveloppen einer Oberflaeche, die sich unter der Bedingung
bewegt, dass ein mit ihr unveraenderlich verbundener Punkt eine gegebene
Kurve durchlaeuft (s. 9).[268] -- Von da ab beginnt die Theorie der
partiellen {48} Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die
Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte
an zeigt es sich, dass es in vielen Faellen fuer die Bestimmung der Natur
einer Oberflaeche nuetzlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung
fuer sie zu haben, als eine solche in endlichen Ausdruecken. Beispiele
hierfuer bieten die Flaechen, die in einem speziellen linearen Komplexe
enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im
s. 10 und s. 11 behandelt), fernere Beispiele die abwickelbaren Flaechen
(s. 12), andere die im s. 9 beschriebenen, andere schliesslich die Oerter
beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine feste Kurve durchlaeuft (s.
14).[269] -- Die Theorie der Kruemmung einer Oberflaeche in einem
Punkte,[270] sowie das Studium der Verteilung der Normalen derselben
Flaeche[271] fuehren zu einer neuen Art von Flaechen, die der Betrachtung
wert sind; jene und diese finden sich im s. 15, der sicherlich einer der
wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der Spezialfall des Ellipsoides ist
im s. 16 behandelt, derselbe enthaelt die Bestimmung der Kruemmungslinien
dieser Flaeche.[272] -- Gross an Zahl und von grosser Wichtigkeit sind die
Fragen, zu denen die Theorie der Kruemmung Anlass giebt. Man kann z. B. die
Oberflaechen untersuchen, bei denen der eine Kruemmungsradius fuer jeden
Punkt denselben Wert hat; Monge fand (s. 18), dass dieselben von einer
Flaeche von konstanter Form eingehuellt werden, die sich in der {49} vorhin
(in den ss. 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann dagegen auch
voraussetzen, dass in jedem Punkte die beiden Kruemmungsradien gleich und
von gleichem Sinne seien: die Oberflaeche ist dann eine Kugel. Wenn dagegen
die beiden Kruemmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von
entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Flaeche eine Minimalflaeche.[273]
Oder es sei in jedem Punkte einer der Kruemmungsradien gleich gross (s.
21).[274]
An die Theorie der Kruemmung schliessen sich dann die Studien ueber die
Roehrenflaechen mit beliebiger Leitkurve (ss. 22 und 26) und ueber
diejenigen Flaechen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (s. 23),
einen gegebenen Kegel (s. 24) oder eine gegebene Developpabele (s. 25)
beruehren. -- Fuer einige dieser Flaechenfamilien hat Monge die
Konstruktion angegeben, fuer alle die Gleichungen, sei es die
Differentialgleichungen oder die endlichen, und, da er sich das Problem
gestellt und geloest hat, von jenen zu diesen zu gelangen, so verdient denn
sein grosses Werk, dass es auch von denen, welche sich mit der Analysis des
Unendlichen beschaeftigen, eingehend studiert werde.
Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die
Differentialgeometrie durch eine hoechst wichtige Arbeit bereichert, die
_Developpements de Geometrie_ von Ch. Dupin (1813). In derselben wird unter
anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer
Oberflaeche und der der Indikatrix eingefuehrt; dort sind die
asymptotischen Linien (Haupttangentenkurven)[275] untersucht, und {50} der
beruehmte Satz bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems
allgemein bekannt ist.
Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen
Untersuchungen ueber Flaechen mit ebenen oder sphaerischen Kruemmungslinien
ansehen, die man Dupin,[276] Alfred Serret (1819-1885),[277] O.
Bonnet,[278] Dini,[279] Enneper (1830-1885),[280] Darboux,[281]
Picart,[282] Lecornu,[283] Dobriner,[284] Voretsch[285] und anderen
verdankt.
Von derselben Art, aber von groesserer Allgemeinheit sind die wichtigen
Untersuchungen von Weingarten ueber solche Oberflaechen, bei denen in jedem
Punkte der eine Kruemmungsradius eine Funktion des anderen ist,[286] welche
Untersuchungen Dini (a. O.), Beltrami[287] und Lie[288] zur Bestimmung der
windschiefen Oberflaechen mit derselben Eigenschaft gefuehrt haben.
Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls
Weingarten verdankt[289] und die sich auf Oberflaechen beziehen, deren
Normalen eine andere vorgelegte Oberflaeche beruehren. -- Dem s. 20 des
Mongeschen Werkes koennen wir die {51} zahlreichen Abhandlungen
anschliessen, welche die Minimalflaechen behandeln. Wir fuehren zunaechst
die von Steiner[290] und Weierstrass[291] an, die sich mit der allgemeinen
Theorie befassen, dann die von Scherk[292] und Bonnet,[293] welche einige
Spezialfaelle derselben bearbeitet haben; Serret[294] beschaeftigte sich
dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, Riemann[295] und
Weierstrass[296] mit solchen, die einen gegebenen Umriss haben, Geiser[297]
mit algebraischen, Noevius[298] mit solchen periodischen, welche unendlich
viele Geraden und unendlich viele ebene geodaetische Linien besitzen;
Catalan[299] mit solchen, die als geodaetische Linie eine Parabel haben,
Henneberg[300] mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodaetische
Linie haben; Bonnet[301] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar
von ebenen Kruemmungslinien befindet; Bour[302] diejenigen, welche auf eine
Rotationsflaeche sich abwickeln lassen; Schwarz solche, die durch ein
windschiefes Vierseit bestimmt sind[303] oder die von Kegeln eingehuellt
sind,[304] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische
Kurven enthalten;[305] {52} Enneper[306] untersuchte diejenigen, welche
unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von
Mathet[307] behandelt, von Beltrami,[308] von Lie,[309] Kiepert,[310]
Henneberg,[311] Ribaucour,[312] Bianchi[313] und Pincherle.[314]
Schliesslich ist die Theorie der Minimalflaechen einer bemerkenswerten
Erweiterung faehig, die von Lipschitz[315] entdeckt wurde.
Wir gehen jetzt dazu ueber, kurz auseinander zu setzen, welches die
hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon
gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der
_Disquisitiones generales circa superficies curvas_ von Gauss.
Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen hoechst
wichtigen Begriff, naemlich den der sphaerischen Abbildung einer
Oberflaeche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm
gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (s. IV) treffen wir die zwei
unabhaengigen Veraenderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der
Punkte einer Oberflaeche ausdrueckt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf
einer Oberflaeche. (Vgl. auch die ss. XVII und XIX). Dann enthaelt s. VI
die Erweiterung der Betrachtung, die man gewoehnlich zur Grundlage der
Theorie der Kruemmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum,
aus welcher Erweiterung der Begriff des Kruemmungsmasses einer Oberflaeche
in einem {53} gewoehnlichen Punkte hervorgegangen ist.[316] Bekanntlich ist
dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkruemmungsradien der
Flaeche in jenem Punkte[317] (s. VIII). Das Kruemmungsmass einer
Oberflaeche kann man sowohl durch die gewoehnlichen kartesischen
Koordinaten (ss. VII und IX) als auch durch die krummlinigen Koordinaten
der Oberflaeche ausdruecken (ss. X und XI).[318]
Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die
Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren
Bedeutung in der Theorie der Oberflaechen, die auf eine andere abwickelbar
sind[319] (s. XII), Gauss zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine
neue Betrachtungsweise der Oberflaechen auf (s. XIII), indem er dieselben
als unendlich duenne, biegsame und unausdehnbare Koerper ansah. Die
folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauss behandeln die geodaetischen
Linien und haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke
(s. XIV und XVIII), dann die Uebertragung der Polarkoordinaten, des Kreises
(s. XV), der Parallelkurven (ss. XVI), auf die Geometrie auf einer
Oberflaeche, sowie die Berechnung der totalen Kruemmung eines geodaetischen
Dreiecks (s. XX). Die ss. XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation
des Ausdruckes fuer das Kurvenelement, die uebrigen behandeln andere Fragen
aus der Geodaesie und duerften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich
ziehen.
{54}
Schon aus diesen fluechtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an
fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauss ist. Die Entwickelungen,
die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von
denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer
machen. Unter diesen Arbeiten muss man den schoenen _Ricerche di analisi
applicata alla geometria_, die Beltrami im zweiten und dritten Bande des
_Giornale di Matematiche_ veroeffentlicht hat, eine hervorragende Stelle
einraeumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser _Dalle variabili
complesse su una superficie qualunque_,[320] _Teoria generale dei parametri
differenziali_[321] und _Zur Theorie des Kruemmungsmasses_.[322]
Bemerkenswert sind ferner die Studien von Bonnet[323] und von Darboux[324]
ueber die sphaerische Abbildung der Oberflaechen, die sich an die ersten in
den _Disquisitiones_ enthaltenen Untersuchungen anknuepfen. Der Begriff der
Kruemmung fuehrte zum Studium der Oberflaechen mit konstanter (positiver
oder negativer) Kruemmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre
Kraefte gewidmet haben. Unter diesen fuehren wir die zwei Arbeiten von
Beltrami an: _Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie
sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee
rette_[325] und _Saggio di una interpretazione della Geometria
non-euclidea_,[326] dann die Schriften von Dini,[327] Lie,[328] {55}
Bianchi,[329] Baeklund,[330] Darboux[331] und Dobriner.[332] Von derselben
Art, aber allgemeiner, sind die Studien von Christoffel[333] ueber die
Bestimmung der Gestalt einer Oberflaeche mit Hilfe von auf ihr selbst
genommenen Massen und von Lipschitz[334] ueber die Oberflaechen, welche
bestimmte auf die Kruemmung bezuegliche Eigenschaften haben, oder bei
welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.
An den Abschnitt der Gaussischen Abhandlung, welcher die geodaetischen
Linien behandelt, knuepfen sich einige Arbeiten von Joachimsthal
(1818-1861),[335] Schering,[336] Beltrami,[337] die von Lie[338] gemachte
Einteilung der Oberflaechen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer
geodaetischen Linien und die Untersuchungen ueber geodaetische Kurven von
demselben Verfasser.[339] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die
Abwickelbarkeit der Oberflaechen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von
Minding in enger Beziehung,[340] in der zum ersten Male die Frage
aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Kruemmung in entsprechenden Punkten
eine hinreichende Bedingung fuer die Abwickelbarkeit zweier Oberflaechen
sei: er gelangte fuer den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu
einem {56} positiven dagegen fuer den Fall konstanter Kruemmung. Dasselbe
gilt von den Arbeiten von Bour[341] (1832-1866), Codazzi[342] und
Bonnet,[343] welche fuer preiswuerdige Antworten auf die im Jahre 1861 von
der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden
sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstaende wurden dann in den
Abhandlungen von Christoffel,[344] von Mangoldt,[345] Weingarten,[346]
Brill,[347] Minding,[348] Jellet,[349] Dini,[350] Enneper,[351]
Razzaboni,[352] Lecornu,[353] Beltrami[354] und vielen anderen behandelt.
Die schoene von Gauss gegruendete Theorie der krummlinigen Koordinaten
einer Oberflaeche liess den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie fuer den
Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte Lame sie fuer einen Spezialfall
auf, naemlich fuer den der elliptischen Koordinaten,[355] spaeter wies er
auf die orthogonalen krummlinigen Koordinaten {57} hin[356] und
konstruierte dann die Theorie derselben,[357] ohne ihre Anwendung[358] und
Entwickelung[359] zu vernachlaessigen. Die beruehmten _Lecons sur la
theorie des coordonnees curvilignes et leurs diverses applications_ (Paris,
1859) von Lame fassen zusammen und vervollstaendigen die glaenzenden
Resultate, die von Lame in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In
der Folge haben sich viele andere mit demselben beschaeftigt. Vor allen
fuehre ich Aoust an, der ihm viele und wichtige Arbeiten widmete,[360] dann
Brioschi,[361] Codazzi,[362] Chelini (1802-1878),[363] Darboux,[364]
Combescure,[365] Levy,[366] Royer[367] und noch andere. Hierzu sehe man
noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflaechen
behandeln und von denen ich nur diejenigen von Bouquet,[368] A.
Serret,[369] Bonnet,[370] Catalan,[371] Moutard,[372] Darboux,[373]
Cayley,[374] Ribaucour,[375] {58} Weingarten,[376] Schlaefli,[377]
Hoppe,[378] Bianchi[379] und Molins[380] nennen will.
Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflaechen behandeln, die nicht zu bis
jetzt besprochenen Kategorien gehoeren, fuehren wir die von Lie[381] an,
welche sich auf Oberflaechen beziehen, die infinitesimale lineare
Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von Enneper,[382] die
sich auf Oberflaechen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die
von Cayley[383] und Weingarten[384] und die von Willgrod[385] ueber
Oberflaechen, welche durch ihre Kruemmungslinien in unendlich kleine
Quadrate geteilt werden; schliesslich die von Bianchi[386] ueber
Schraubenflaechen.
Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie
der Oberflaechen wurde durch die Bemuehungen de Salverts geschaffen, der in
einigen eleganten Arbeiten,[387] wahrscheinlich hervorgerufen durch die
schoenen _Vorlesungen ueber die analytische Geometrie des Raumes_ von
Hesse, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberflaeche in
ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System
von Formeln fuer die Loesung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn
die Gleichung z = [phi](x, y) zu Grunde gelegt wird.
{59}
Ueber Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine
verdankt man Hoppe; sie traegt den Titel: _Elemente der Flaechentheorie_;
eine andere wurde von Brisse unternommen;[388] die neuesten sind die von
Bianchi in seinen sehr schoenen _Lezioni di geometria differenziale_ (Pisa,
1886) und die, welche Darboux in seinen _Lecons sur la theorie generale des
surfaces_ begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen
(Paris, 1887).
Wir wollen diesen Abschnitt beschliessen, indem wir noch bemerken, dass die
Zuhilfenahme der Analysis fuer das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht
notwendig ist; vielmehr haben Bertrand[389] und Bonnet[390] zuerst gezeigt,
welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen
ziehen kann. Ausserdem enthalten der erste Band des _Traite de calcul
differential et integral_ von Bertrand und der _Traite de geometrie
descriptive_ von de la Gournerie[391] und eine grosse Zahl von ueberaus
schoenen Abhandlungen von Mannheim[392] bemerkenswerte geometrische
Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir
uns eben beschaeftigt haben, angehoeren.
{60}
* * * * *
IV.
Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen. Abzaehlende
Geometrie.
------
Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der
Kurven und die der Oberflaechen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien
der Untersuchung uebergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen
Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen koennen.
Die erstere umfasst eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum
Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflaechen von
gegebener Ordnung annehmen koennen, und ich halte es fuer angemessen, bei
diesen eine Zeit lang zu verweilen.
Die Bestimmung der Gestalt der Kurven zweiter Ordnung reicht schon in das
Altertum. Fuer dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden
Geistes, wenn man bedenkt, dass die Alten jene Kurven als Schnitte eines
Kreiskegels betrachteten.
Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven dritter Ordnung
annehmen koennen, nicht ohne Schwierigkeit. Newton ueberwand diese, indem
er lehrte, dass alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fuenfen
derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden
koennen.[393] Zu dieser ersten Einteilung der Formen {61} der Kurven
dritter Ordnung fuegte Chasles[394] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf
einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu
verkennende Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven
dritter Ordnung saemtlich auffinden durch Projektion von fuenfen derselben,
die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der
Einteilung endlich stuetzt sich auf das konstante Doppelverhaeltnis der
vier Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem
ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von Durege entwickelt.[395]
{62}
Bei weitem groessere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der
ebenen Kurven vierter Ordnung, die schon angefuehrten Arbeiten von
Bragelogne, Euler und Pluecker bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es
scheint aber nicht, dass man diese -- dasselbe gilt auch von den schon
genannten auf die kubische Kurve bezueglichen -- als die Grundlage zu einer
allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr
muss man dieselben als die ersten Vorlaeufer jener Lehren betrachten, die
man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren
gehoeren in das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie
das Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft
der Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von Staudt in seiner
_Geometrie der Lage_[396] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die
Gestalten der ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren
Zuege der Kurven, die Rueckkehrelemente der Figuren; andere wurden von
Tait[397] angegeben und von J. Meyer entwickelt,[398] andere schliesslich
von Hart angedeutet[399] und mit vielem Gluecke von E. Koetter
verallgemeinert.[400] Die zweiten sind fast alle aus der Schule von Klein
hervorgegangen. Da ich auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes
nicht eingehen kann, so moege es hier genuegen, unter den schon erhaltenen
Resultaten einige besondere Saetze ueber die Kurve vierter Ordnung
anzufuehren, die man Zeuthen[401] und Crone[402] verdankt; dann {63} eine
sehr wichtige Relation zwischen den Zahlen der reellen und imaginaeren
Singularitaeten einer ebenen Kurve, zu welcher Klein gefuehrt wurde,[403]
als er die von Pluecker[404] und Zeuthen vorgeschlagenen Klassifikationen
der Kurven vierter Ordnung studierte; ferner einen sehr schoenen
Lehrsatz,[405] von Harnack (1851-1888) entdeckt, welcher dadurch, dass er
eine unerwartete Beziehung zwischen der Form einer Kurve und ihrem
Geschlechte enthuellte, die Wichtigkeit des letzteren von neuem
bestaetigte.
Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit
entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen
Untersuchungen ueber die Oberflaechen sagen, dass sie sich noch in ihrer
Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren
meines Wissens nicht, ausser denjenigen, die von Moebius in seiner _Theorie
der elementaren Verwandtschaften_ niedergelegt sind,[406] und welche, so
scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger
erwarten lassen, welcher die ganze Fuelle derselben zu Tage foerdert.
Dasselbe gilt fuer gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen
Arbeiten von Klein zerstreut sind. Fuer den Fortschritt der Geometrie
wuerde es von hoechstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen;
ungluecklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten
Jahren ist vielleicht Rohn[407] der einzige, der hierin einige Fortschritte
gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden.
{64}
Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes
Beduerfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die
Bestimmung der Gestalt der Oberflaechen zweiten Grades uebergehe ich als zu
einfach und fuehre die der Oberflaechen dritter Ordnung an, die mit Erfolg
von Klein,[408] Schlaefli,[409] Zeuthen[410] gemacht ist, und neuerdings
von Bauer durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve
vervollstaendigt wurde;[411] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir
Maxwell[412] verdanken; dann die der Oberflaechen vierter Ordnung mit
Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Zeuthen[413] herruehrt; die der
Oberflaechen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von Crone[414]
ausgefuehrt ist; endlich die der Kummerschen Flaechen und der Kegelflaechen
viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von
Rohn[415] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von Ludwig
Brill, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt
das Interesse, welches das gelehrte Deutschland fuer vorliegende
Untersuchungen hat.[416]
Was die Gestalt der Kurven doppelter Kruemmung angeht, so existieren
darueber bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man
kann sagen, dass sich dieselben auf die Beobachtungen beschraenken, die
Chr. Wiener[417] {65} und Bjoerling[418] gemacht haben, indem sie die
Modelle der gewoehnlichen Singularitaeten einer Raumkurve konstruierten.
Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl
der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genuegen, die
hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der Bezoutsche
Lehrsatz, welcher die Zahl der Loesungen eines bestimmten Systems von
algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar fuer die
Loesung solcher Fragen, da, waehrend dieser Satz auf allgemeine Gleichungen
ihres Grades sich stuetzt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche,
diese Probleme analytisch zu loesen, erhaelt, von spezieller Form sind.
Wahrscheinlich ist das der Grund dafuer, dass diese Probleme groesstenteils
bis in verhaeltnismaessig neuerer Zeit ungeloest geblieben sind.[419]
Auf Chasles faellt der Ruhm, in seiner _Methode der Charakteristiken_ ein
feines und maechtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine
grosse Zahl von Problemen der angedeuteten Art fuer den Fall, dass die
betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, loesen konnte und
einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die {66} Gebilde beliebige sind,
zur Loesung derselben zu gelangen.[420] Der Hauptgedanke desselben war die
fortwaehrende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische
Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von
Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des
Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade
beruehren.
Dadurch, dass man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel
erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. Chasles selbst entdeckte
alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im
Raume[421] und auf die Flaechen zweiter Ordnung.[422] Zeuthen und Maillard
gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung,
die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, _Almindelige Egenskaber ved
Systemer af plane Kurver_,[423] der andere in seiner Dissertation
_Recherches des caracteristiques des systemes elementaires de courbes {67}
planes du troisieme ordre_;[424] andere findet der Leser in den Schriften
von Sturm ueber die kubischen Raumkurven[425] und denen von Schubert ueber
die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume
betrachtet.[426] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge
mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von Cayley,
_On the curves which satisfy given conditions_[427] enthalten sind, sowie
in einigen Arbeiten von Jonquieres ueber Systeme von Kurven und
Flaechen.[428] Endlich gehoeren hierher noch die Untersuchungen von
Hirst[429] und Sturm[430] ueber Systeme von Projektivitaeten und
Korrelationen, sowie die von Zeuthen[431] ueber die Plueckerschen
Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, dass zwischen
den Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung
mit zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu
erkennen giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von
Kurven darstellen. Die gegebene Differentialgleichung laesst jedem Punkte
eine bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer
Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese
Beziehungen wurde Clebsch durch seine Untersuchungen ueber die Konnexe[432]
(vgl. s. VI) und unabhaengig von Fouret[433] {68} gefuehrt. In aehnlicher
Weise kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster
Ordnung mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflaechen aufstellen,
wie dies ebenfalls Fouret[434] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von
grosser Wichtigkeit, weil er gestattet, Saetze auf transcendente Kurven
oder Oberflaechen auszudehnen, von denen man glaubte, dass sie nur fuer
algebraische Kurven oder Oberflaechen gueltig seien; so konnte Fouret den
Satz ueber die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene
algebraische Kurve beruehren, auf Systeme von transcendenten Kurven
ausdehnen,[435] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Beruehrungspunkte
eines einfach unendlichen Systemes von Oberflaechen mit den Oberflaechen
eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[436] ebenso die Ordnung des
Ortes der Beruehrungspunkte der Oberflaechen eines doppelt unendlichen
Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberflaeche[437] u. s. w.[438]
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kuerze wegen uebergehe, war
die ganze Tragweite der Chaslesschen Betrachtungen noch nicht offenbar
geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe,
durch Hermann Schubert in seinem _Kalkuel der abzaehlenden Geometrie_.[439]
Dieses Buch, das noch viel zu wenig {69} geschaetzt wird, kann man mit
Recht als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem
behandelte, "zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener
Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genuegen," d. h. das
Problem der abzaehlenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien
unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[440] dort ist klar
eroertert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur
zu verstehen hat, und sind Methoden von ausserordentlicher Macht fuer
dessen Loesung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt,
eines Tages das uebliche Hilfsmittel fuer den Mathematiker zu werden, wie
es augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der
Uebertreibung beschuldigen, der bedenkt, dass dieselben in einer Unzahl von
Faellen zur Loesung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h.
die Zahl der Loesungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu
bestimmen. Daher muessen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von
Schubert, durch welches er die abzaehlende Geometrie zu einer besonderen
Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu
bewundern, sich {70} vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu
vervollkommnen und sie von Maengeln frei zu machen, d. h. sie von dem
Tadel, der ihnen von einigen gemacht worden ist, dass sie nicht ganz
strenge seien, zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen,
deren sie faehig sind, zu vermehren.
Die auf die Theorie der Charakteristiken bezueglichen Andeutungen[441]
wuerden eine unverzeihliche Luecke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick
auf eine wichtige Frage boeten, die zwischen einigen Geometern ventiliert
wurde, und die man heute als schon geloest betrachten darf. Geleitet
naemlich durch einen Induktionsschluss, behauptete Chasles, dass die Zahl
derjenigen Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer
neuen einfachen Bedingung genuegen, ausgedrueckt wird durch eine homogene
lineare Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten
einzig und allein von dieser Bedingung abhaengen. Darboux,[442]
Clebsch,[443] Lindemann,[444] Hurwitz und Schubert,[445] sowie noch andere
glaubten diesen Satz beweisen zu koennen. Aber dass die von ihnen
angefuehrten Gruende nicht beweiskraeftig waren, wurde in einer Reihe von
Arbeiten gezeigt, in welchen Halphen[446] die Hinfaelligkeit der Vermutung
Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angefuehrten Satz
modifizieren muesse. In der Theorie der Charakteristiken der Systeme von
Flaechen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls
Halphen[447] entdeckt hat. Jedoch glaube man nicht, dass diese Saetze {71}
von Halphen die Resultate zerstoeren, welche man erhalten, indem man den
Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind dieselben gluecklicherweise
meistenteils unabhaengig von dem fraglichen Theorem, und fuer die anderen
Faelle ist es leicht zu zeigen, welche Korrektionen man machen muss.[448]
* * * * *
V.
Theorie der Kurven doppelter Kruemmung.
------
Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen Richtungen
verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge fasst, dass eine solche
Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer
Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie
der Oberflaechen, indem diese als durch eine Gleichung zwischen den
Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf
welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man
hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen
Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die
Beschraenkung aufhebt, dass diese in einer Ebene gelegen seien: dann
entsteht die Theorie der unebenen Kurven.
Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug
mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von
denjenigen, die fuer die {72} ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde
dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von Clairaut
unternommen und wurde hernach von Lancret (1774-1807),[449] Monge,[450]
Tinseau,[451] de Saint-Venant (1797-1886),[452] von Frenet,[453] Alfred
Serret[454] und Paul Serret, von Liouville (1809-1882),[455] Bertrand,[456]
von Puiseux (1820-1883),[457] von Lie[458] und vielen anderen
fortgesetzt.[459]
Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der
uebrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr grosse
Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, dass jede Kurve im Raume als
der vollstaendige Schnitt zweier Oberflaechen angesehen werden und daher
durch ein System von zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten eines
Punktes im Raume dargestellt werden koennte;[460] aber bald erkannte man
die Existenz von Kurven, die nicht der vollstaendige Schnitt von
Oberflaechen sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst
zweier, {73} sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen
durch dieselbe hindurchgehenden Oberflaechen entsprechen. Man setzte
voraus, dass die Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven
hinreichen wuerde, aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war,
erkannte man, dass dieselbe nicht genuege.[461] Man haette nun glauben
sollen, dass die Ordnung und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte fuer den
besagten Zweck hinreichen wuerden, aber als man an die neunte Ordnung
herantrat, sah man, dass man sich geirrt habe.[462] Auch eine dritte Zahl,
die niedrigste Ordnung der Kegel, die durch die von einem Punkte
herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der Kurve gehen, konnte nur bei den
Kurven von niederer, als der fuenfzehnten Ordnung dazu verhelfen. So kam
man denn zu dem Schlusse, dass es unmoeglich sei, eine gegebene Kurve
vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein angebbarer Zahlen zu
charakterisieren.
Ich habe diese Thatsachen anfuehren wollen, um zu zeigen, dass die
allgemeine Theorie der unebenen Kurven keine Aehnlichkeit mit irgend einem
anderen Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche
Dunkelheit, die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen,
den Grund zu finden, warum die Kenntnisse, die wir ueber diese Gebilde
haben, so wenig zahlreich und erst neueren Ursprunges sind.
Die ersten allgemeinen Resultate ueber die Kurven doppelter Kruemmung
verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet
hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Pluecker)
auf, welche die Zahl der Singularitaeten einer Raumkurve {74} untereinander
verbinden.[463] In der anderen fuehrte er fuer das Studium der Raumkurven
von der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flaechen ein, welche er
"Monoide" nannte.[464]
Nach diesen Arbeiten muessen wir, um einen wirklich bemerkenswerten
Fortschritt in der Theorie, welche uns beschaeftigt, zu finden, uns zu
Halphen und Noether wenden, deren Abhandlungen[465], im Jahre 1882 von der
Akademie zu Berlin mit dem Preise gekroent, die Grundlage fuer eine
allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme:
"alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen",
"anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberflaeche giebt" und
noch viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten
verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, dass es sehr
schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den
vielen gemeinsamen {75} Resultaten zufaellt, die sie enthalten. Wenn
einerseits Noether die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in
den _Comptes rendus_ und an anderen Stellen[466] ausgesprochen sind,
ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Saetze bedienen, welche in der
sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Noether, _Ueber die algebraischen
Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie_[467] enthalten sind, und in
derjenigen, in welcher Noether streng den Fundamentalsatz der Theorie der
algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung
von Halphen unumgaenglich notwendig war.[468] Und man glaube nicht, dass
die von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im
wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie
Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und
Saetze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der
andere solche Lehrsaetze ueber die algebraischen Funktionen an, welche zu
denselben Eigenschaften fuehren. Jedenfalls steht es ausser Zweifel, dass
diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind,
die Grundlage fuer die zukuenftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden,
und wenn bis jetzt sich ihr Einfluss noch nicht so allgemein geltend
gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den grossen Schwierigkeiten
zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch
den Luecken, die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen
koennte, um jene zu ueberwinden.[469]
{76}
Aber vor der Begruendung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne
Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wuensche, mehr als
getreuer, denn als glaenzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so
muss ich hier eine Aufzaehlung der Arbeiten unternehmen, in welchen die
hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.
"_Degli altri fia laudabile il tacerci,_
_Che il tempo saria corto a tanto suono._"[470]
Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen
Raumkurven behandeln. Ueber diese haben Moebius[471] und Chasles[472]
verschiedene sehr schoene Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten
sich mit solcher Schnelligkeit, dass Staudt[473] binnen kurzem die
vollstaendige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht,
feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr
vervollkommnet, dank den Studien von Seydewitz,[474] Joachimsthal[475]
Cremona,[476] {77} Schroeter,[477] Reye,[478] Emil Weyr,[479] Sturm,[480]
Hurwitz,[481] welche nicht allein die Aufstellung einer vollstaendigen
synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain
fuer die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein
innigst geliebter Lehrer E. d'Ovidio[482] und Pitarelli[483] gemacht haben.
Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide
gezeichneten Kurven anfuehren, fuer welche Chasles[484] das Fundament
gelegt hat, und die von unserem Cremona[485] so sehr bereichert ist. Ferner
will {78} ich der vielen Eigenschaften erwaehnen, welche Poncelet,[486]
Chasles,[487] Cremona,[488] Reye,[489] Paul Serret,[490] Laguerre,[491]
Milinowski[492] und viele andere ueber die Raumkurven vierter Ordnung
erster Art gefunden haben, und die schoenen Anwendungen, die sie fuer die
Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, --
Harnack,[493] Lange,[494] Westphal,[495] Leaute[496] u. s. w. Auch kann ich
die schoenen Arbeiten von Cremona,[497] von Armenante,[498] Bertini[499]
und Em. Weyr[500] ueber die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht
stillschweigend uebergehen, ferner nicht die von Klein und Lie ueber die
durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst
transformierten {79} Kurven,[501] noch auch die von Fiedler[502]
angestellte Bestimmung der Kurven von nicht hoeherer als neunter Ordnung,
die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie koennte
ich es unterlassen, einen Blick auf die grosse Zahl von Kurven zu werfen,
welche Cremona und Sturm[503] studiert haben, indem sie sich mit der
Geometrie auf einer Oberflaeche dritter Ordnung beschaeftigten, dann auf
die wichtigen Probleme, die von Clebsch und seinen Schuelern ueber die
rationalen,[504] elliptischen und hyperelliptischen[505] Kurven geloest
sind, und die eleganten Eigenschaften, welche Bertini[506] an den
rationalen Kurven fuenfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl[507] bei
denjenigen, deren Punkte auf einer Oberflaeche zweiten Grades liegen,
waehrend die Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse beruehren?
Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene
Untersuchungen aufzaehlen hoert, wird er sich von einem gewissen Kleinmute
bedraengt fuehlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit moeglich sei,
dieselben, wenn auch nicht alle, so doch groesstenteils sich anzueignen?
Man beruhige sich. Die Uebersicht ist fuer den Studierenden viel weniger
schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen koennte. Die von den
Geometern der ersten Haelfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien
sind so fruchtbar, dass, wenn jemand sich dieselben gruendlich zu eigen
gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten,
sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu
foerdern. Und dieses -- was sicherlich ein {80} nicht zu unterschaetzender
Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Vaeter ist -- wurde in
Kuerze von einem ihrer Gruender mit den fortan klassischen Worten
ausgesprochen: _"Peut donc qui voudra dans l'etat actuel de la science
generaliser et creer en geometrie; le genie n'est plus indispensable pour
ajouter une pierre a l'edifice"_,[508] goldene Worte, welche jeder, der
Mathematik betreiben will, sich einpraegen muss; indem sie ihn auf einen
wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig
den geistigen Kaempfen entgegenzustellen, die ihn erwarten.
* * * * *
VI.
Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen.
------
Bei dieser fluechtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen
gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und
Transformationen. -- Es ist bekannt, dass zwischen zwei ebenen Punktfeldern
eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen
eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heissen dann die
"entsprechenden" zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen
Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heisst die
Korrespondenz "eindeutig".
Die einfacheren Faelle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie --
von Poncelet studiert (1822) -- und die Kollineation (Homographie), von
Moebius (1827), Magnus (1833) und Chasles (1837) studiert. In diesen
Faellen entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern {81} auch
jeder Geraden eine Gerade. -- Ein Beispiel einer komplizierteren
Korrespondenz wurde von Steiner (1832) durch folgende Konstruktion
erhalten:[509] Gegeben sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe
Geraden; durch jeden Punkt der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche
die beiden gegebenen Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit
der anderen Ebene. Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene
gewaehlten Punkte zuordnet, erhaelt man eine eindeutige Beziehung von der
Art, dass jeder Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen
entspricht. Laesst man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhaelt man
eine Korrespondenz, welche im wesentlichen nicht von der durch
Poncelet[510] zwischen in bezug auf ein Kegelschnittbueschel konjugierten
Punkten gefundenen verschieden ist, und welche auf analytischem Wege von
Pluecker[511] untersucht wurde, sodann von Magnus (1790-1861)[512] und von
unserem Schiaparelli,[513] synthetisch aber von Seydewitz[514] und spaeter
von Reye.[515] -- Auf ein drittes Beispiel fuehrte die Loesung einiger
Probleme aus der mathematischen Physik; man gelangt dazu auf folgende
Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein fester Punkt, man associiert zwei mit
ihm in gerader Linie gelegene Punkte, deren Abstaende von ihm umgekehrt
proportional sind. Man erhaelt dann eine eindeutige Korrespondenz, welche
jede Gerade in einen Kreis, und jeden Kreis wieder in einen Kreis
verwandelt. Diese wurde von Sir William Thomson[516] {82} als "Prinzip der
elektrischen Bilder" studiert und ist unter dem Namen "Transformation durch
reciproke Radien" oder "Inversion" allgemein bekannt.[517]
Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine
Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte
Magnus schon die Bemerkung, dass, wenn man eine quadratische Transformation
wiederholt, man im allgemeinen eine solche hoeherer Ordnung erhaelt.[518]
Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar
(1863), in welchem Cremona von den wenigen bisher eroerterten Faellen zur
allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren
ueberging.[519]
{83}
Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche Cremona dieser
Theorie[520] gewidmet hat, zu zeigen, wuerde ich auseinanderzusetzen haben,
auf welche Weise dieser grosse Geometer das Studium der eindeutigen
Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven
zurueckgefuehrt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die
Loesung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die
Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muss ich mich darauf
beschraenken, ihn davon durch den alten Beweis des "_consensus omnium_" zu
ueberzeugen. Dann fuehre ich noch die Namen von Geometern an wie
Cayley,[521] Clebsch,[522] Noether,[523] Rosanes,[524] S. Roberts,[525] die
sich bemueht haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes
unvermeidlichen) Luecken, die sich in den Cremonaschen Abhandlungen[526]
fanden, auszufuellen; ferner die Arbeiten von Ruffini,[527]
Jonquieres,[528] Kantor,[529] Guccia,[530] Autonne,[531] welche mit dieser
Lehre {84} eng zusammenhaengende Fragen behandeln, endlich die von
Hirst,[532] T. Cotterill[533] (1808-1881), von Sturm,[534] Schoute[535] und
sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel gesetzt haben, die
Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und elegante Formeln zu
erleichtern.[536]
Unter den Arbeiten, welche sich an die von Cremona anschliessen, verdienen
eine hervorragende Stelle diejenigen von Bertini,[537] welche er den ebenen
involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch
groessere Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse
und andere Begriffe, die von Caporali[538] (1855-1886) eingefuehrt wurden,
jenem ausgezeichneten Geometer, dessen fruehen Verlust ganz Italien
betrauert.[539]
{85}
Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen
von Laguerre ueber solche Transformationen, welche er "Transformationen
durch reciproke Richtungen" nannte; da es nicht moeglich ist, den
Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen
Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen
wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden franzoesischen
Geometers.[540]
Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den
"isogonalen Transformationen" einen Teil, welcher sich auf die geometrische
Darstellung der komplexen Zahlen stuetzt und deren Nuetzlichkeit (welche
vielleicht groesser {86} ist fuer die mathematische Physik als fuer die
reine Geometrie) Moebius,[541] Siebeck,[542] Durege,[543] Beltrami,[544]
Vonder-Muehll,[545] F. Lucas,[546] Wedekind[547] und neuerdings
Holzmueller[548] dargethan haben.[549]
{87}
Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf
verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von
selbst darbieten, sind folgende:
Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz
aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt
unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[550] diese
Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocitaet)
zwischen zwei Feldern; angegeben von Pluecker, wurde dieselbe von
Clebsch[551] entwickelt und veranlasste die Theorie der Konnexe.[552]
{88}
Wenn man dann zum Raume uebergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den
Punkten zweier Oberflaechen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten
einer krummen Oberflaeche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten
zweier Raeume.
Die Darstellung einer Oberflaeche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum
zurueckverfolgen, da schon Hipparch und Ptolomaeus (und wahrscheinlich
andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten
gestellt und Loesungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen
Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. -- Die
Projektion von Mercator (1512-1594), die Untersuchungen von Lambert
(1728-1777) und Lagrange, die beruehmte Antwort von Gauss auf eine von der
daenischen Akademie gestellte Frage[553] zeigen, wie die taeglichen
Beduerfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhoerlich die
Gelehrten angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen
Darstellung der Oberflaeche unseres Planeten auf einer Ebene zu
beschaeftigen.[554] -- Die erste Abbildung einer Oberflaeche auf einer
anderen jedoch, die nur in der Absicht gemacht wurde, um eine derselben
leichter studieren zu koennen, verdanken wir Gauss, der 1827 in seinen
beruehmten _Disquisitions generales circa superficies curvas_ es als sehr
vorteilhaft erkannte, die Punkte {89} einer beliebigen Oberflaeche den
Punkten einer Kugelflaeche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche
Punkte zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.[555] Eine besondere
Eigentuemlichkeit dieser Korrespondenz ist die, dass, um Eindeutigkeit zu
erhalten, es fast immer noetig ist, nur den Teil der Oberflaeche
abzubilden, den man gerade ins Auge fasst; wir wollten diese Eigenschaft
nicht stillschweigend uebergehen, da deren Anfuehrung uns Gelegenheit
giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphaerischen
Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von Pluecker,[556]
Chasles[557] und Cayley[558] fuer das Studium der Geometrie auf einer
Flaeche zweiten Grades, denen, die von Clebsch[559] und Cremona[560] fuer
das Studium der Geometrie auf einer kubischen Flaeche, und von denen
endlich, die von spaeteren Geometern fuer die Untersuchung anderer Flaechen
vorgeschlagen sind.
Die erste Arbeit, welche _ex professo_ die Theorie der Abbildungen dieser
Art behandelt, verdankt man Clebsch.[561] Die zahlreichen Beispiele, durch
welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen aelteren und
spaeteren[562] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung
der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flaechen mit vielen Einzelheiten
gefuehrt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen {90} von
Cremona[563] und Noether,[564] sowie die ihnen folgenden von
Armenante,[565] Klein,[566] Korndoerfer,[567] Caporali[568] und von noch
anderen[569] im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl ausserordentlich
vermehrt.[570] Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem
Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schoene
Abhandlung von Caporali ueber die dreifach unendlichen linearen Systeme
ebener Kurven liest,[571] in welcher er einerseits die Theorie der
Abbildung einer Oberflaeche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme
anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung
fand.
Bei dem Studium der Abbildung einer Oberflaeche bietet sich von selbst eine
wichtige Frage dar, naemlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene
abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflaechen sich als Punkt fuer
Punkt {91} einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht
erkannte, dass die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man
natuerlich auf die andere Frage gefuehrt: Welche Oberflaechen lassen sich
eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflaechen
kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? -- Die analoge Frage fuer
zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von Clebsch vermittelst der
Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln geloest. Diese Analogie
veranlasste nun Clebsch, die Loesung des vorhin angegebenen Problems in
einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflaechen[572]
zu suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafuerhalten nicht von
gutem Erfolge gekroent, und auch heute muss man trotz der nach Clebsch
angestellten Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie Cayley,[573]
Noether,[574] Zeuthen[575] die Frage als noch ungeloest betrachten; um das
zu beweisen, genuegt es zu sagen, dass, wenn es auch bekannt ist, dass alle
Oberflaechen zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflaechen sind)
eindeutig auf einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflaechen
vierter Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[576] {92}
Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn
ich nicht irre, von Noether[577] erhalten; dieser gelangte durch eine
ueberaus elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberflaeche, welche
eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven enthaelt, zu einer
Abbildung derselben auf einem Kegel.
Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung
gewisser Oberflaechen auf eine Ebene stiess, liessen bei Clebsch den
Gedanken entstehen, zwischen einer Oberflaeche und einer Ebene eine
vielfache Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die Riemannschen
Flaechen denkend sagte) eine Flaeche auf eine vielfache Ebene abzubilden
und dann diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[578] Diese Idee, deren
Keime sich vielleicht bis zu der von Chasles[579] vorgeschlagenen
Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurueckverfolgen lassen,
konnte nicht mehr vollstaendig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch
blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr
entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen,
welche de Paolis aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erlaeutert
hat.[580]
Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlasste
die Theorie der rationalen Transformationen im Raeume. Zwei Beispiele einer
solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Raeume (und
deren Spezialfaellen) dar und -- wie Magnus,[581] Hesse[582] und
Cremona[583] bemerkt haben -- in der Transformation, die man erhaelt durch
drei zu demselben Raeume korrelative (reciproke) Raeume, indem man jedem
Punkte jenes Raumes {93} den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen
entsprechen. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870
durch die Bemuehungen Cayleys,[584] Noethers[585] und Cremonas,[586] obwohl
schon Magnus[587] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit
eingesehen hatte.
Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie
im allgemeinen begruendeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir
der Feder unseres beruehmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die
Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz
zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium
der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflaechen
zurueckfuehren laesst. Darauf setzte er auf eine sehr schoene Weise
auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten koenne, wenn
man die ebene Abbildung einer Oberflaeche kennt, und zeigte zuletzt durch
treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen
auf die Abbildung vieler Flaechen auf andere zurueckfuehrt, insbesondere
auf die ebene Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der
obenerwaehnten Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer
Oberflaeche nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten
kann, sondern auch unzaehlig viele rationale Transformationen des Raumes.
Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so
maechtig zur Gruendung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben,
kann man doch nicht sagen, dass dieselbe den Grad der Vollendung erreicht
habe, {94} den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, dass die
schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der
Bestimmung der Singularitaeten der Oberflaechen zusammenhaengen, und ueber
diese -- wir muessen es leider gestehen -- sind unsere Kenntnisse noch sehr
beschraenkt. Darin hat man vielleicht die Erklaerung der Thatsache zu
suchen, dass die Geometer, die auf jene oben erwaehnten folgten, sich mehr
mit der Erlaeuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der
Vervollkommnung derselben und der Ausfuellung ihrer Luecken beschaeftigt
haben.[588] Und dennoch -- wenn auch das Studium der Figur selbst ohne
Zweifel dem der transformierten vorzuziehen ist -- giebt es bei dem
heutigen Standpunkte der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es
verdienen, dass man sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als
gerade diese. In der That, um die Worte eines grossen Mannes zu gebrauchen,
"wenn man ueber das Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund {95} der
gewaltigen Vorteile aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da
nicht, dass sie dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man
anfaenglich eingefuehrte Ausdruecke Transformationen unterziehen kann,
Transformationen, deren Geheimnis und deren Mechanismus die wahre
Wissenschaft bilden und die das staendige Ziel der Analysten sind? Ist es
darum nicht natuerlich, zu versuchen, in die reine Geometrie analoge
Transformationen einzufuehren, welche direkt auf die vorgelegten Figuren
und ihre Eigenschaften hinsteuern?[589]
Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher
Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[590]
z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurueckfuehrung
zur urspruenglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals
hintereinander angewandt werden. Es existieren in der That auch schon
einige gute Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen
behandelt sind, welche eine Flaeche zweiter Ordnung, einen linearen
Komplex[591] oder eine kubische Raumkurve[592] in sich selbst
transformieren, sowie ueber die cyklischen Projektivitaeten.[593]
{96}
Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschliessen, indem wir noch
einige Worte ueber die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden
zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Voruebergehen
hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von Paolis anfuehrte. Der
erste, der sich mit ihnen beschaeftigte, war Chr. Wiener,[594] welcher sie
untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte
zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes;
dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe
der Grundpunkte des Bueschels zugeordnet, der durch die entsprechenden
Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen
zu erzeugen, wurde von Tognoli[595] auf den Raum ausgedehnt; derselbe liess
jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte
desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen
entsprechenden Oberflaechen eines dreifach unendlichen linearen Systemes
bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht
als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon
genannten Untersuchungen von Paolis ueber die doppelten Transformationen.
Das zeigen die Arbeiten, in denen Visalli[596] und Jung[597] die vielfachen
Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.
Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich
Reye[598] und Segre[599] beschaeftigt und von ihnen elegante Anwendungen
gemacht. Aschieri[600] uebertrug eine spezielle ebene zweifache
Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte
auch die {97} Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die
Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem
Gebiete haben wir jedoch keine ausser den wenigen, die in einer kurzen
Arbeit von Reye[601] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen ueber die
doppelten Transformationen des Raumes von Paolis.[602] Wir zweifeln nicht,
dass diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen
Transformationen, die wir noch erwarten, dienen koennen; und wir erwarten
dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, dass dieselbe der Geometrie
nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch
die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie Paolis
bemerkt, die doppelten leisten koennen.
Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Raeumen von Punkten
(oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume
stellen. Untersucht wurden dieselben fuer den Fall, dass durch jeden Punkt
die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden
Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Raeume ein hoeheres
Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen
letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von Ameseder,[603] von
Sturm[604] und Voss[605] hervorgetreten, waehrend Reye[606] das Verdienst
zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[607] zuerst, doch in einer
anderen Weise -- die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen,
sondern Flaechen zweiter Ordnung und zweiter Klasse -- erweitert zu haben.
{98}
* * * * *
VII.
Geometrie der Geraden.
------
Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element
aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die
Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip
der Dualitaet fuehrte nun die Gelehrten zu dem Schluesse, dass die Gerade
in der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem
Erfolge, wie der Punkt, die Rolle spielen koenne, die bis jetzt dieser in
der Geometrie inne gehabt, und fuehrte in der Folge dazu, die Gerade und
die Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues
System der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das
Verdienst dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebuehrt groesstenteils
Pluecker.[608]
Aber ganz auf Pluecker faellt der Ruhm, ein drittes die raeumlichen Gebilde
erzeugendes Element -- die Gerade -- eingefuehrt und auf eine solche
Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begruendet zu haben. Dieser
beruehmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die
Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskraefte der Physik
zu widmen, zu der Wissenschaft zurueck, die ihm urspruenglich seinen Ruhm
gesichert hatte, um sie {99} mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu
beschenken, mit "der Geometrie der Geraden".
Die ersten Mitteilungen ueber diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der
Koeniglichen Gesellschaft zu London[609] von dem grossen deutschen Geometer
gemacht wurden, enthalten die Saetze ueber einige allgemeine Eigenschaften
der Komplexe, Kongruenzen und Regelflaechen und einige spezielle
Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[610] die Beweise
derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors,
vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume gefuehrt werden, die er
als einen eigenen Gedanken eingefuehrt hatte, die man spaeter aber als
Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley[611] aufgestellt hatte, um
vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume
darstellen zu koennen.
Diese Mitteilungen veranlassten ploetzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten,
in denen Battaglini nicht nur, was Pluecker behauptet hatte, sondern auch
viele Lehrsaetze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und hoeheren
Grades beziehen.[612] -- Indessen hatte Pluecker schon die von ihm {100}
skizzierten Gedanken ausgefuehrt und in dem Werke vereinigt, welches den
Titel traegt: _Neue Geometrie des Raumes, gegruendet auf die Betrachtung
der geraden Linie als Raumelement._[613]
Von diesem Buche zu sagen, dass es in allen seinen Teilen gleich wichtig
und interessant sei, wuerde eine der Wahrheit nicht entsprechende
Behauptung sein. Pluecker schaetzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die
wir durch Lagrange, Jacobi, Hesse, Clebsch gewoehnt sind; er teilte
sicherlich nicht mit Lame[614] die Ansicht, dass "die Bezeichnung fuer die
Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte fuer den Stil ist";
bei ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genuegen, naemlich
schnell zur Loesung der ins Auge gefassten Probleme zu fuehren. Dieser
Mangel, der allen Arbeiten von Pluecker gemeinsam ist, macht sich lebhafter
in dem letzten Werke bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte
mit Mustern der Eleganz, wie den _Vorlesungen ueber analytische Geometrie
des Raumes_ von Hesse und den _Vorlesungen ueber Dynamik_ von Jacobi, die
kurz vorher (1861 und 1866) herausgekommen waren. Ausser diesem nicht
geringen Mangel ist ein anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, dass
Pluecker lange Zeit hindurch es vernachlaessigt hatte, den Fortschritten
der Geometrie nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir
in seinem Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr
interessieren, da sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen,
eine grosse Anzahl von Spezialfaellen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht
ueberzeugen koennen, eine Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir
nicht einsehen. Trotz dieser Fehler -- die ich anfuehren muss, um die
geringe Anzahl der Leser, die sie heute findet, zu begruenden -- kann man
nicht verkennen, dass die letzte Arbeit von Pluecker reich an originellen
Blicken ist, und es wuerde die Lektuere derselben jedem zu raten sein, der
das Studium dieses Teiles der Geometrie unternehmen will, wenn nicht die
Nachfolger {101} Plueckers seine Untersuchungen in besserer Form
auseinandergesetzt und mit anderen Methoden ausgefuehrt, und jene Gedanken,
die er nur hingeworfen hat, groesstenteils entwickelt haetten.
Pluecker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu
vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den
zweiten Teil seines Buches zu veroeffentlichen; aber die Untersuchungen,
die er unvollendet zurueckliess, wurden von seinem Schueler F. Klein[615]
zu Ende gefuehrt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der
Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schoener Lehrsaetze ueber
die Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und
ausserordentlich fruchtbare Ideen ueber die Geometrie der Geraden. In der
That ist es Klein, der, einen Gedanken seines Lehrers praezisierend, die
Bemerkung machte, dass man die Geometrie der Geraden ansehen koenne als das
Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen,
enthalten in einem linearen Raume von fuenf Dimensionen, und zeigte, dass
jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer
Geraden darstellbar ist. Dass diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der
groessten Bedeutung fuer den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien,
wurde in glaenzender Weise durch die schoenen Untersuchungen meines lieben
Freundes Segre[616] gezeigt, die mit denen von Klein innig zusammenhaengen.
Gleichzeitig mit Klein beschaeftigten sich Pasch,[617] Zeuthen,[618]
Drach,[619] spaeter auch Paolis[620] wiederholt {102} mit der Geometrie der
Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener
Koordinaten behandelten. Clebsch[621] wandte auf diese Theorie die Methode
der abgekuerzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollstaendigte
Weiler[622] die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen,
die Klein in seiner Dissertation angegeben hatte. Voss[623] studierte in
einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitaeten der Systeme von
Geraden; Halphen bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher
aufgestellten Bedingungen genuegen;[624] Noether,[625] Klein[626] und
Caporali[627] beschaeftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und
zweiten Grades auf den gewoehnlichen Raum, Aschieri mit der einiger
spezieller Komplexe;[628] Lie stellte den innigen Zusammenhang, der
zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins
Licht;[629] Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen
Komplexe.[630] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere
Theorie von Chasles studiert[631] -- schon 1839 --, von Reye,[632] {103}
von Silldorf,[633] Schur,[634] Bertini,[635] von d'Ovidio[636] und von W.
Stahl;[637] Buchheim[638] bediente sich der Quaternionen, um die
hauptsaechlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen,
waehrend viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme
von Geraden beziehen, gluecklich in einigen Abhandlungen von Mannheim,[639]
Lie,[640] Klein,[641] Picard[642] und Koenigs[643] geloest wurden.
Schliesslich wurden einige spezielle Komplexe studiert von Aschieri,[644]
Painvin,[645] von Reye,[646] Lie,[647] Weiler,[648] Roccella,[649] von
Hirst,[650] Voss,[651] Genty,[652] Montesano,[653] von Segre und von
mir.[654]
Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Pluecker
gegebenen Anstosse verdanken, muessen wir noch eine andere ebenso
glaenzende erwaehnen, die aber {104} von ganz anderer Art ist. Sie umfasst
die Arbeiten von Dupin,[655] Malus[656] (1775-1811) und Ch. Sturm[657]
(1803-1855), Bertrand,[658] Transon[659] ueber die Normalen von
Oberflaechen und ueber die mathematische Theorie des Lichtes, dann die von
Hamilton (1805-1865) ueber Systeme von Strahlen.[660] Diese Arbeiten finden
ihre Kroenung in zwei beruehmten Abhandlungen, die von Kummer in den Jahren
1857 und 1866 veroeffentlicht sind.
In der ersteren, die im _Journal fuer Mathematik_[661] abgedruckt ist, hat
sich Kummer die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere
Methode die Resultate von Hamilton darzulegen und sie in den Punkten, wo
sie mangelhaft erschienen, zu vervollstaendigen.[662]
In der zweiten,[663] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen
schoenen allgemeinen Untersuchungen ueber die Zahl der Singularitaeten
eines Systemes von Strahlen und seiner Brennflaeche, und loeste die Frage,
alle algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu
bestimmen, d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes einer oder
zwei Strahlen des Systemes hindurchgehen.
Ich moechte wuenschen, dass mir hinreichender Raum zu Gebote staende, um
den Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser
klassischen Arbeit hoch {105} zu schaetzen, um ihn an der tiefen
Bewunderung teilnehmen zu lassen, die ich fuer sie empfinde; ich moechte
ihn sehen lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser
zur Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen
weiss, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflaechen darstellen
(welches jene Oberflaechen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich
Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwaehnen), zu den Singularitaeten
der Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange
zwischen ihnen und den Singularitaeten der Brennflaeche u. s. w. Aber da
die Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muss ich mich darauf
beschraenken, den Wunsch auszusprechen, dass dieser mein kurzer Ueberblick
es bewirken koenne, dass bei jedwedem das Verlangen entsteht, die
Untersuchungen Kummers selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen,
den er mit solchem Gluecke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch
aus, da mich die Beobachtung schmerzlich bewegt, dass in den zwanzig
Jahren, die schon seit dem Erscheinen der Kummerschen Arbeit verflossen
sind, es noch nicht gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so
fruchtbar an schoenen Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten
Weise zu foerdern.[664]
{106}
* * * * *
VIII.
Nicht-Euklidische Geometrie.
------
Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschaeftigen
habe, umfasst eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen
Veranlassung gegeben haben und -- wunderbar zu sagen -- eine Zeit lang die
Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, "das eine gewappnet gegen das
andere";[665] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des
Raumes, den man "Nicht-Euklidische Geometrie" und "Theorie der beliebig
{107} ausgedehnten Mannigfaltigkeiten" oder "Geometrie von n
Dimensionen"[666] nennt.
Jeder weiss, dass unter allen Saetzen, die in den _Elementen_ des Euklid
enthalten sind, es einen giebt,[667] der nur schlecht dazu passt, wie es
der griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate
gestellt zu werden.[668] Derselbe ist von grosser Wichtigkeit im
Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der
Parallelen gegruendet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer
Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Saetze zu zaehlen, fuer
welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die
Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der
Fall sein sollte, ihn unterdruecken und durch einen anderen ersetzen
koenne, dessen Wahrheit offenbarer sei?
Diese Fragen sind ein natuerlicher Ausfluss unseres Zeitalters, von welchem
eine der hervorragendsten Eigentuemlichkeiten (wie Humboldt bemerkt) die
unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit
hinterlassen hat; sie muessen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen
Geometrie angesehen werden.
Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des
vergangenen Jahrhunderts von Legendre[669] {108} gemacht. Dieselben
stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und
dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und
fuehrten Legendre dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel
wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von
eben demselben Postulate unabhaengig ist.[670]
Nahe zur selben Zeit wie Legendre, befasste sich Gauss mit dieser Frage.
Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete
veroeffentlicht; seine Korrespondenz mit Schumacher[671] und mit Wolfgang
Bolyai (1775-1856)[672] und einige bibliographische Artikel von ihm[673]
{109} bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafuer besass, sondern
bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf
den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften
von Lobatschewsky (1793-1856)[674] und Johann Bolyai (1802-1860)[675] ueber
diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der Fuerst der deutschen
Mathematiker mit seiner Autoritaet die Ergebnisse, welche dieselben
erhalten hatten. Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt,
dass dieselben die Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollstaendig
unabhaengig ist von dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische
Geometrie, oder imaginaere oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten
mit der gewoehnlichen Geometrie uebereinstimmt, jedoch in vielen anderen
sich von ihr unterscheidet, -- eine Geometrie, die eine Zeit lang einige
als absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur
oberflaechlichen Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht,
die aber heute allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert ausser
Zweifel gestellt ist.[676]
{110}
Zu diesem Siege der Logik ueber den uebertriebenen Empirismus haben in sehr
wirkungsvoller Weise einige Schriften von grosser Bedeutung beigetragen,
die Riemann (1827-1866), von Helmholtz und Beltrami in den Jahren 1867 und
1868 veroeffentlichten.
Die Riemannsche Schrift: _Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen_[677] -- zwoelf Jahre vor ihrer Veroeffentlichung geschrieben
-- war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit
der Form selbst fuer diejenigen, welche in der Mathematik schon
vorgeschritten sind, von schwierigem Verstaendnisse. Jedoch ein grosser
Teil der Ideen, welche dieselbe enthaelt, verbreiteten sich sehr bald, da
sie, durch ein glueckliches Zusammentreffen, auch von Helmholtz
ausgesprochen wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein
wissenschaftlicher Form darlegte,[678] sondern auch in populaeren
Vortraegen und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch ausserhalb des
engeren Kreises der Geometer behandelte.[679] Keinen geringeren Einfluss
aber als die Schriften des beruehmten Verfassers der _Physiologischen
Optik_ uebte der klassische _Saggio di interpretazione della Geometria
non-euclidea_[680] von Beltrami aus. Gerade die Schaerfe und analytische
Eleganz, welche diese Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der
Geometer auf dieselbe; das glaenzende und ueberraschende Resultat, dass die
Saetze der Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den
Oberflaechen mit konstanter negativer Kruemmung fanden, machte einen tiefen
Eindruck auch auf diejenigen, welche jeder nicht durch das {111} Experiment
bewiesenen Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der
neuen Anschauungen; endlich -- die dort verteidigten gesunden Prinzipien
einer wissenschaftlichen Philosophie und die glaenzende Form, in welcher
die Abhandlung geschrieben ist, liessen und lassen noch bei allen eine
lebhafte Bewunderung fuer unseren beruehmten Landsmann entstehen, durch
dessen Bemuehung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.
Dass die Arbeiten dieser drei grossen Gelehrten einen wohlthaetigen
Einfluss auf die ganze Geometrie ausgeuebt haben, hat sich zur Evidenz
durch die Aenderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise
vollzogen hat wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Saetze
betrachtet.[681] Wenn frueher die Geometer den Philosophen die Sorge
ueberliessen, zu entscheiden, ob die Wahrheiten, mit denen sie sich
beschaeftigten, notwendige oder zufaellige seien, und dahin neigten,
dieselben als notwendige zuzulassen, so streben sie jetzt, nachdem die
empirische Grundlage der Geometrie erkannt ist, fortwaehrend darnach, genau
festzusetzen, welche Thatsachen man der Sinneswahrnehmung entnehmen muss,
um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu gruenden.[682] Wer die schoenen
_Vorlesungen ueber neuere {112} Geometrie_ (Leipzig, 1882) von Pasch liest,
die neueren Lehrbuecher prueft und diese und jene mit den aelteren Buechern
vergleicht, wird wesentliche Unterschiede finden.
In den aelteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht
beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den neueren
fuehrt er sozusagen den Schueler dazu, die noetigen Erfahrungen
auszufuehren, um die Praemissen der spaeteren Deduktionen festzustellen. In
den aelteren Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als
die einzig denkbare hin, in den neueren als {113} eine der unendlich
vielen, die man aufstellen koennte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen
thatsaechlichen Fortschritt, da sie zeigen, dass die Gelehrten sich von
einem alteingewurzelten und schaedlichen Vorurteile frei gemacht haben; und
fuer den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine
nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit.
Kurz nach der Veroeffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von
F. Klein,[683] die auch von grosser Wichtigkeit ist; aber um die Stellung
zu kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen
Geometrie einnimmt, muss ich mich einige Jahrzehnte rueckwaerts wenden.
Es ist bekannt, dass infolge des _Traite des proprietes projectives des
figures_ eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften
der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und
solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, dass unter den
ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische
Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob
es nicht moeglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so
auszusprechen, dass sie bei der Projektion saemtlich erhalten werden. Fuer
einige Arten der Projektion haben Chasles und Poncelet die Frage geloest,
indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des
unendlich entfernten imaginaeren Kreises einfuehrten; fuer andere wurde die
Loesung von Laguerre[684] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels
projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Loesung in ihrer ganzen
Allgemeinheit gab, war Cayley[685] (1859), der in dem sechsten von seinen
beruehmten _Memoirs upon Quantics_ zeigte, dass jede metrische Eigenschaft
einer ebenen Figur als in einer {114} projektiven Beziehung zwischen dieser
und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden koenne.
Nun besteht der Hauptzweck der angefuehrten Abhandlung von Klein eben
darin, die innige Beziehung zwischen den Schluessen Cayleys und denen, zu
welchen Bolyai und Lobatschewsky gelangt waren, herzustellen; auf welche
lichtvolle Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der grosse Ruhm, zu
dem diese Schrift alsbald gelangte.[686]
An diese Schriften schliessen sich viele andere; an die von Riemann und
Beltrami einige interessante Arbeiten von de Tilly,[687] Genocchi,[688] von
Escherich[689] und Bianchi;[690] an die von Klein verschiedene Abhandlungen
von Battaglini,[691] d'Ovidio,[692] de Paolis[693] und Aschieri,[694]
Cayley,[695] Lindemann,[696] Schering,[697] von Story,[698] {115} H.
Stahl[699] und Voss,[700] von H. Cox[701] und A. Buchheim.[702]
Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr
reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[703] es hat den Anschein, als wenn
jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen koennte, und durch
welches jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der
Nicht-Euklidischen Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die
unermuedlichen Arbeiter der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder
Richtung so gruendlich durchwuehlt haben, dass sie keine goldfuehrende Ader
mehr bergen?
* * * * *
IX.
Geometrie von n Dimensionen.
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Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die Geometrie
von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstuetzung, welche die
Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese
anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Unterstuetzung eine
begrenzte, da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der
Funktionen einer, zweier oder dreier Variabelen verknuepft sind (oder mit
der Theorie der binaeren, ternaeren oder quaternaeren Formen), einer den
Sinnen zugaenglichen {116} Darstellung faehig sind. Aber der Geist der
Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der maechtigsten
Antriebe zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch
fortwaehrend ist, bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die
Natur ihrem Vorstellungsvermoegen angelegt zu haben schien, und von
beliebig ausgedehnten Raeumen zu sprechen.[704]
Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen, als
mathematischen Frage beschaeftigt hatten, ob in der That solche Raeume
existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein
vielleicht unloesbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen
konnten; durch eine kuehne Einbildungskraft verschafften sie sich die
(sinnlich wahrnehmbaren oder uebersinnlichen) Darstellungen vieler
analytischer Resultate.[705]
Um zu zeigen, dass man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen
Theorie gekommen ist, begnuege ich mich damit, die Thatsache anzufuehren,
dass dieselbe von Analysten wie Cauchy[706] (1789-1857) und Riemann[707]
aufgestellt wurde; dass sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden
mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, fuer die Theoreme der
Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner dass Lagrange schon
Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung machte, "dass man die
Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen {117} ansehen koenne", in
welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[708]
Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem Ursprunge
und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. Pluecker, dem das
Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Foerderung der modernen
Geometrie zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein
geometrisches Gewand zu geben, indem er beobachtete, dass man unserem Raume
eine beliebige Anzahl Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer
passenden Wahl des geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes
Element des Raumes auffasst; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man
den Punkt oder die Ebene waehlt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel
nimmt, neun, wenn man die Flaeche zweiten Grades nimmt, u. s. w.[709]
{118}
Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu
begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der
erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug
machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde besonders
infolge der beruehmten Abhandlung von Riemann, _Ueber die Hypothesen,
welche der Geometrie zu Grunde liegen_, in vielen Richtungen weiter
entwickelt, und die mathematische Litteratur ueber diesen Gegenstand ist
von einer schon betraechtlichen Reichhaltigkeit und waechst noch von Tag zu
Tag.
Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten
Abhandlungen von Helmholtz, fuehre die von Beltrami,[710] Schlaefli,[711]
Newcomb,[712] Stringham,[713] das neue Buch von Killing[714] an und die
darauf folgenden Untersuchungen von Schur,[715] die enge mit der
Riemannschen Abhandlung zusammenhaengen; die Untersuchung von Betti[716]
ueber den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die von
Clifford,[717] Beltrami,[718] Jordan,[719] von Lipschitz,[720] Monro,[721]
Scheeffer (1859-1885),[722] Heath[723] und Killing[724] ueber die Kinematik
und Mechanik eines {119} solchen Raumes;[725] ferner die von Jordan[726]
und Brunel[727] ueber die verschiedenen Beruehrungs- und Schmiegungsraeume,
welche eine Kurve in einem Raume von n Dimensionen zulaesst,[728] die von
Craig[729] ueber die metrischen Eigenschaften der Oberflaechen in einem
solchen Raume, die von Kronecker,[730] von Beez,[731] Lipschitz,[732]
Christoffel,[733] von Brill,[734] Suworoff[735] und Voss[736] ueber die
Kruemmung eines beliebig ausgedehnten Raumes; die von Kronecker und
Tonelli[737] ueber das Potential; die von Lie,[738] Klein,[739] Jordan[726]
und Lipschitz[740] ueber die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen
Lehrsatzes; sodann die konforme Abbildung einer Oberflaeche des
vierdimensionalen Raumes auf den gewoehnlichen Raum, die von Craig[741]
studiert wurde, endlich die von Lipschitz gegebene Verallgemeinerung des
beruehmten Problemes der drei Koerper.[742] Zum Schlusse wollen {120} wir
die Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser
Begriffe, einiger Saetze und Formeln der elementaren Geometrie, die
vorzueglich von Rudel,[743] Hoppe,[744] Schlegel[745] und Mehmke[746]
gemacht sind; dazu gehoeren auch die Untersuchungen von Stringham,[747]
Hoppe,[748] Schlegel,[749] Scheffler,[750] Rudel,[751] O. Biermann,[752]
Puchta[753] und anderen ueber die regulaeren Koerper des vierdimensionalen
Raumes, die soweit gediehen, dass sie Schlegel gestatteten, Modelle der
Projektionen dieser Koerper auf unseren Raum herzustellen.[754]
Ausser dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den
Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche
projektiv ist, waehrend die erstere wesentlich metrisch ist.--Eine kurze
Andeutung, {121} die von Cayley im Jahre 1846 gegeben wurde[755] ueber eine
Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu
untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung
hinwies. Aber es scheint, wie Bailly[756] bemerkt hat, "dass die Ideen, wie
wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwaeche haben; sie sind
nicht von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit
der Zeit ihre Fruchtbarkeit". Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre
verfliessen, ehe der geniale Gedanke des grossen englischen Geometers, in
der richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Raeume von n
Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief.
Als Einleitung zu derselben muss man die wichtige Arbeit von Clifford
ansehen: _On the classification of loci_,[757] in welcher das allgemeine
Studium der Kurven in beliebigen linearen Raeumen in Angriff genommen ist;
jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche
Erweiterungen derer sind, die man in der gewoehnlichen projektiven
Geometrie zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, dass dieser neue Zweig
der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die Veronese der _Behandlung der
projektiven Eigenschaften der Raeume von_ n _Dimensionen durch die
Prinzipien des Schneidens und Projizierens_ gewidmet hat.[758] In derselben
laesst der beruehmte Verfasser, Riemann folgend, einen Raum von n
Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine
Dimension weniger hat, von einem ausserhalb gelegenen Punkte projiziert,
und {122} indem er sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur
Erweiterung des groesseren Teiles der Theorien der gewoehnlichen Geometrie
der Lage.[759] Die Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung
eroerterten Prinzipien wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die
Fortsetzung derselben bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch
von Tag zu Tag ein Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle
einnimmt. Unter ihnen will ich -- abgesehen von denen, die Veronese selbst
publiziert hat,[760] -- die Untersuchungen von Segre anfuehren ueber die
Theorie der quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre
Anwendung auf die Geometrie der Geraden,[761] ueber die kollinearen und
reciproken Korrespondenzen,[762] ueber die Bueschel von Kegeln zweiten
Grades,[763] ueber die Regelflaechen,[764] ueber die Oberflaechen vierter
{123} Ordnung mit Doppelkegelschnitt[765] und ueber die Theorie der Systeme
von Kegelschnitten,[766] dann die von Bertini[767] und Aschieri,[768] die
verwandte Gegenstaende behandeln; die Schriften von del Pezzo ueber die
Oberflaechen in einem n-dimensionalen Raume.[769] Noch viele andere muesste
ich nennen, aber
Io non posso ritrar di tutti appieno;
Perocche si mi caccia il lungo tema,
Che molte volte al fatto il dir vien meno.[770]
Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten
koennte, sind die -- viel frueher als die von Veronese erschienenen -- von
Noether ueber die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen
Raeumen (1869, 1874),[771] jene ebenfalls aelteren von Halphen (1875) ueber
die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume
enthalten sind,[772] von d'Ovidio {124} ueber die Metrik eines solchen
Raumes (1876),[773] endlich die neuerlichen von Schubert ueber die
abzaehlende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[774]
* * * * *
Schluss.
------
Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu
beschliessen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen
derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die
von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So
konnte ich nicht ueber die Theorie der projektiven Koordinaten berichten,
die von Chasles[775] erhalten wurden, als er die gewoehnlichen Cartesischen
Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von
Staudt[776] aufgestellt wurde und vollstaendiger von Fiedler;[777] {125}
dann habe ich nicht ueber die Methode der symbolischen Bezeichnung
berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck fuer den Geometer ist; die
Theorie der Beruehrungstransformationen (Lie) und der
Differential-Invarianten (Halphen) habe ich stillschweigend uebergangen, da
sie auf der Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der
Differentialgleichungen stehen; ueber die sogenannte _Analysis situs_ habe
ich mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von Riemann
geschaffen und von seinen Schuelern betrieben wurde, um Probleme der
Funktionentheorie zu loesen. Dann haben sich meiner Darlegung die schoenen
Auseinandersetzungen von Battaglini und Ball entzogen ueber die Kraefte und
Bewegungen,[778] von Chasles, Aronhold, Mannheim und Burmester ueber die
kinematische Geometrie und von Reye ueber die Traegheitsmomente, da sie
bisher[779] mehr zur Mechanik als zur Geometrie gehoerig angesehen wurden.
Gleiches gilt von den interessanten Experimenten Plateaus (1801-1883) in
bezug auf die Minimalflaechen, deren Besitz die Physiker fuer sich
beanspruchen, von den schoenen Untersuchungen ueber die Polyeder (Moebius,
Bravais, Jordan, Hess), welche den Uebergang von der Geometrie zur
Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten ueber die geometrische
Wahrscheinlichkeit (Crofton, Czuber, Cesaro), welche ich geneigt waere
unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich nicht ueber
die Methode der Aequipollenzen gesprochen (Bellavitis) und die Theorie der
Quaternionen (Hamilton), da beide sich bis jetzt noch {126} nicht von so
grosser Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges Hilfsmittel des
Geometers angesehen zu werden.
Ungern musste ich hinweggehen ueber die Theorie der Kugelsysteme, die mit
grossem Erfolge von Lie und Reye bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf
die Theorie der Konfigurationen werfen koennen (Reye, Kantor, Jung,
Martinetti), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen
ist, und auf die mehr den Elementen angehoerige Erweiterung der Lehre vom
Dreiecke, zu welcher Arbeiten von Brocard[780] die Anregung gegeben haben.
Kurz erwaehnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen ueber Maximal-
und Minimalfiguren, von denen die einen (Painvin, P. Serret, Lebesgue,
Borchardt, Kronecker) das Problem von Lagrange, das Tetraeder groessten
Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflaechen gegeben sind, und
Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[781] die anderen
(Lindeloef, Berner, Edler, Sturm, Schwarz, Lange, Certo) sich an die
beruehmten Aufsaetze von Steiner[782] anschliessen.[783]
Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen uebergangen werden, dass es
unserem Jahrzehnte vergoennt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des
Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen
Jahrhundert Lambert[784] die Zahl [pi] als irrational nachgewiesen,
verblieb immer noch der Nachweis, dass [pi] auch nicht Wurzel {127} einer
algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit
ist dargethan, dass die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer
endlichen Anzahl von Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des
Zirkels ausfuehrbar sind, vollzogen werden koenne. Dieser Beweis wurde,
unter Benutzung Hermitescher Vorarbeiten ueber die Exponentialfunktion,
1882 von Lindemann[785] erbracht.
Trotz der aufgezaehlten und unzaehliger anderer Unvollkommenheiten des
Bildes, das ich ueber den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen
versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe
wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein ueber die
gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fuenfzig Jahren,
sondern auch ueber die neue, schoenere, verlockendere Gestalt, welche sie
mehr und mehr annimmt.
Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos
erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der
geometrischen Transformationen, vermoege derer sie sich bewegen, sich in
einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthuellen und unter sich
bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen.
Ferner glaubte man eine Zeit lang, dass wir als dreidimensionale Wesen, die
in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen
koennen, dazu verurteilt waeren, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht
mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und
fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefaehrlichen Vorurteile uns
frei zu machen, und die Fuelle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern,
belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne
wegwenden wollen, ueber die Wichtigkeit dieses Fortschrittes.
Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der
Analysis, der sich gegen Ende des {128} vergangenen Jahrhunderts erhoben
und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine,
noch die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den
Unglaeubigsten gezeigt, dass sie bei jeglichem Ringen als Siegerin
hervorgehen koenne. Der _Mecanique analytique_, in welcher Lagrange mit
Freuden konstatierte, dass er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu
vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glaenzenden Bescheid
gegeben, welches das Motto traegt: "_Geometrica geometrice_"; dem
hundertjaehrigen Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, koennen
sich heute die zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen,
welche jene von dieser zog; schliesslich wird man doch an Stelle der
analytischen oder pseudosynthetischen Theorie der Kurven und Oberflaechen
in Kurzem die rein synthetische Theorie setzen koennen, die man
gegenwaertig aus dem von Staudt[786] gelieferten Materiale errichtet.
Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der
Analysis und Geometrie muessen sich alle Glueck sagen, da jeder Fortschritt
der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu
{129} auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten
Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie Spencer sagt, die verschiedenen
Disziplinen als Hilfskuenste, die einen fuer die anderen.
Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit
Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, naemlich die, nicht
die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere
zu vernachlaessigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen
ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[787]
Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, dazu
hilft uns die Betrachtung, "dass die Analysis und Synthesis im Grunde
genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen
das vollstaendigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser
Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder
Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen
sucht, so hat er nicht einen Ueberfluss an diesen beiden Mitteln und jener
besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken
schoepft."[788]
Indem wir uns also der Beschraenktheit unserer Kraefte bewusst sind, werden
wir nur ein kleines Feld waehlen, auf dem wir unsere Thaetigkeit ueben,
aber nicht vergessen, dass {130} wir, um alle Fruechte, die es zu bieten
faehig ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle
die Hilfsmittel pruefend anzuwenden, welche der menschliche Geist waehrend
so vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thaetigkeit angehaeuft hat, und die
jedem zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und
das Geschick, sie anzuwenden.
* * * * *
Abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten Zeitschriften.
------
_Acta math._: Acta mathematica.
_Amer. Journ._: American Journal of Mathematics pure and applied.
_Ann. Ec. norm._: Annales scientifiques de l'Ecole normale superieure.
_Annali di Matem._: Annali di Matematica pura ed applicata.
_Berliner Abh._: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Akademie
der Wissenschaften zu Berlin.
_Berliner Ber._: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte oder
auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen derselben
Akademie.
_Bologna Mem._: Memorie } dell' Accademia di Scienze dell' Istituto
_Bologna Rend._: Rendiconti } di Bologna.
_Bull. sciences math._: Bulletin des sciences mathematiques (bis 1884:
et astronomiques).
_Bull. Soc. math._: Bulletin de la Societe mathematique de France.
_Cambridge Journ._: Cambridge and Dublin mathematical Journal.
_Cambridge Proc._: Proceedings } of the Philosophical Society of
_Cambridge Trans._: Transactions } Cambridge.
_Comptes rendus_: Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Academie
des sciences (de Paris).
_Gergonnes Ann._: Annales de Mathematiques.
_Giorn. di Matem._: Giornale di Matematiche.
_Goettinger Abh._: Abhandlungen } der Gesellschaft der Wissenschaften
_Goettinger Nachr._: Nachrichten von} zu Goettingen.
_Grunerts Arch._: Archiv der Mathematik und Physik.
_Journ. Ec. polyt._: Journal de l'Ecole polytechnique.
_Journ. fuer Math._: Journal fuer die reine und angewandte Mathematik.
_Irish Proc._: Proceedings } of the Irish Academy.
_Irish Trans._: Transactions }
{131}
_Leipziger Ber._: Berichte ueber die Verhandlungen der Gesellschaft der
Wissenschaften zu Leipzig.
_Lincei Atti_: Atti }
_Lincei Mem._: Memorie } dell' Accademia dei Lincei.
_Lincei Rend._: Rendiconti }
_Lincei Trans._: Transunti }
_Liouvilles Journ._: Journal de Mathematiques pures et appliquees.
_Lombardo Rend._: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze e
lettere.
_Math. Ann._: Mathematische Annalen.
_Mem. pres._: Memoires presentes par divers savants a l'Academie des
sciences (de Paris).
_Muenchener Abh._: Abhandlungen } der Akademie der Wissenschaften
_Muenchener Ber._: Sitzungsberichte } zu Muenchen.
_Napoli Rend._: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e
matematiche di Napoli.
_Nouv. Ann._: Nouvelles Annales de Mathematiques.
_Phil. Mag._: London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine.
_Phil. Trans._: Philosophical Transactions } of the Royal Society of
_Proc. Roy. Soc._: Proceedings } London.
_Prager Abh._: Abhandlungen } der boehmischen Gesellschaft der
_Prager Ber._: Sitzungsberichte } Wissenschaften.
_Proc. math. Soc._: Proceedings of the London mathematical Society.
_Quart. Journ._: Quarterly Journal of pure and applied Mathematics.
_Torino Atti_: Atti } dell' Accademia delle scienze di Torino.
_Torino Mem._: Memorie }
_Wiener Ber._: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen
Klasse der Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung.
_Zeitschr. f. Math._: Zeitschrift fuer Mathematik und Physik.
------
Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim
_Journ. Ec. polyt._ auf das Heft, die roemische auf die Serie (Reihe).
{132}
* * * * *
Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist.
------
Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht.
Abel 20 -- d'Alembert 14 -- Apollonius 6 -- Archimedes 6 -- Aronhold 31.
Baltzer 53 -- Bellavitis 60 -- Benedetti 9 -- Bobillier 26 -- Bolyai, J.
109 -- Bolyai, W. 108 -- Borchardt 43 -- Bour 56 -- Bragelogne 24 --
Braikenridge 22.
Caporali 84 -- Cardano 8 -- Carnot 14 -- Cauchy 116 -- Chasles 17 --
Chelini 57 -- Clairaut 13 -- Clebsch 27 -- Clifford 26 -- Cotterill 84 --
Cotes 21 -- Cramer 22 -- Crelle 20.
Desargues 9 -- Descartes 10 -- Dirichlet 119 -- Dupin 15.
Enneper 50 -- Eratosthenes 6 -- Euler 13.
Ferrari 8 -- Fermat 9 -- Ferro 8 -- Fibonacci 8.
Gauss 47 -- Gergonne 16 -- La Gournerie 44 -- Grassmann 26 -- De Gua 22.
Hachette 15 -- Halley 11 -- Hamilton 104 -- Harnack 63 -- Hesse 25 --
Hipparch 6 -- La Hire 11 -- Houeel 109 -- Huygens 11.
Jacobi 16 -- Joachimsthal 55.
Lacroix 15 -- Lagrange 14 -- Laguerre 40 -- Lamarle 125 -- Lambert 88 --
Lame 23 -- Lancret 72 -- Laplace 14 -- Legendre 14 -- Leibniz 11 --
Liouville 72 -- Lobatschewsky 109.
Mac Cullagh 33 -- Maclaurin 11 -- Magnus 81 -- Mascheroni 9 -- Mercator 88
-- Moebius 18 -- Monge 13.
Newton 11.
Oresme 16.
Pappus 6 -- Parent 13 -- Pascal 9 -- Plateau 125 -- Plato 5 -- Pluecker 19
-- Poisson 14 -- Poncelet 14 -- Ptolomaeus 6 -- Puiseux 72 -- Pythagoras 5.
Richelot 16 -- Riemann 110.
Saint-Venant 72 -- Scheeffer 118 -- Schooten 13 -- Serret, A. 50 --
Seydewitz 33 -- Simpson 11 -- Smith 29 -- Snellius 16 -- Spottiswoode 124
-- Staudt 19 -- Steiner 18 -- Stewart 11 --Sturm, Ch. 104.
Tartaglia 8 -- Thales 4 -- Transon 81.
Vieta 9.
Waring 22 -- Wren 32.
* * * * *
Berichtigung. S. 97 Z. 7 v. o. lies viel- statt zwei-.
* * * * *
Noten.
------
[1] "It is difficult to give an idea of the vast extent of modern
mathematics. This word "extent" is not the right one: I mean extent crowded
with beautiful detail -- not an extent of mere uniformity such as an
objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the
distance, but which will bear to be rambled through and studied in every
detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower." (Rede von
Cayley i. J. 1883 vor der "British Association for the Advancement of
Science" gehalten.)
Bei dieser Gelegenheit fuehren wir noch folgendes Urteil von E.
Dubois-Reymond ueber den Charakter der modernen Wissenschaft an: "Nie war
die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen,
nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine groessere Einheit
dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewusster, mit gewaltigeren Methoden
voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere
Wechselwirkung statt." (_Ueber die wissenschaftlichen Zustaende der
Gegenwart_, Reden, Bd. II, S. 452.)
[2] _Histoire des sciences mathematiques en Italie_ par G. Libri, 1838. Bd.
I, S. 3.
[3] Hankel, _Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten_
(Tuebingen. II. Aufl. 1885). S. 7.
[4] Diese Thatsache koennte man als ein neues Moment ansehen, wie sich --
nach einem beruehmten Ausspruche Humboldts -- der Einfluss, den die
tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen
Untersuchungen ausueben, geltend macht.
[5] Vgl. Emil Weyr, _Ueber die Geometrie der alten Aegypter_ (Wien, 1881).
[6] Fuer die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier
niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den _Vorlesungen ueber die Geschichte
der Mathematik_ von M. Cantor (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste
Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das
Todesjahr.
[7] In Bezug auf groessere Einzelheiten sehe man Bretschneider, _Die
Geometrie und die Geometer vor Euklides_ (Leipzig, 1870).
[8] Betti und Brioschi, Vorrede zu _Gli elementi di Euclide_ (Florenz,
1867). Eine gegenteilige Ansicht hat Lacroix in seinem wohlbekannten Buche
_Essais sur l'enseignement en general et sur celui des mathematiques en
particulier_ (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen.
[9] Um zu zeigen, wie glaenzend und bewunderungswuerdig die noch immer
verkannte griechische Mathematik gewesen sein muss, genuege es, die
Thatsache anzufuehren, dass die Theorie der Kegelschnitte, ein
hauptsaechlicher Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu
solcher Vollendung gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges
hinzuzufuegen haette, um sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich
heute befindet. Die Bewunderung fuer jene wird noch jeden Tag groesser
durch die historischen Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Zeuthen
(s. das Werk _Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertume_, deutsch von
Fischer-Benzon. Kopenhagen, 1886), P. Tannery (s. _Bull. des sciences
math._ und _Mem. de la Societe de Bordeaux_) und andere], welche das
Vorurteil zu beseitigen suchen, dass die Griechen keine
Untersuchungsmethoden gehabt haetten, die vergleichbar sind mit denen, auf
welche unsere Zeit so stolz ist, und die als Ersatz dafuer die Ansicht
aufzustellen streben, dass es ihnen nur an den noetigen Formeln zur
Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.
[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der beruehmte
Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit
geschrieben hat, anzufuehren: "...... mais bientot le Romain arrive, il
saisit la science personnifiee dans Archimede, et l'etouffe. Partout ou il
domine la science disparait: l'Etrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si
plus tard Rome n'ayant plus d'ennemis a combattre se laisse envahir par les
sciences de la Grece, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle
les lira et les traduira sans y ajouter une seule decouverte. Guerriers,
poetes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique,
quel theoreme de geometrie devons-nous aux Romains?" (Libri a. O. S. 186.)
Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten,
genuege es mitzuteilen (vgl. Hankel, _Zur Geschichte der Mathematik im
Altertum und Mittelalter_, Leipzig, 1874. S. 103), dass sie dieselbe oft
mit Astrologie und den verwandten Kuensten zusammenwarfen. Es darf uns
daher nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den
gesammelten Bestimmungen unter dem Titel "De maleficis et mathematicis et
ceteris similibus" folgendes finden: "Ars autem mathematica damnabilis
interdicta est omnino." Wenn man in demselben Codex etwas weiter die
Wendung findet: "Artem geometriae discere atque exercere publice interest,"
so muss man sich hueten, sie als eine Uebersetzung des Ausspruches
Napoleons I. anzusehen: "L'avancement, le perfectionnement des
Mathematiques sont lies a la prosperite de l'Etat," denn es ist fast
sicher, dass der roemische Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie
meinte.
[11] Unter den Fragen der Geometrie, welche die italienischen Gelehrten des
16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger
Wichtigkeit, da sie die _"Geometria del compasso"_ (Geometrie des Kreises)
entstehen liessen, welcher gerade in dieser Zeit Benedetti (?-1590) eine
Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von Mascheroni (1750-1808) und
Steiner gepflegt wurde.
[12] Pascal entdeckte an der Cykloide eine Fuelle bemerkenswerter
Eigenschaften, wies auf die Perspektivitaet als eine fuer das Studium der
Kegelschnitte sehr guenstige Methode hin, bewies den beruehmten Lehrsatz
von dem "Hexagramma mysticum," wie er es nannte, u. s. w.
Desargues fuehrte die gemeinsame Betrachtung der drei Kegelschnitte ein,
den wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den
Begriff der Involution von sechs Punkten, loeste mehrere wichtige Fragen,
die sich auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.
In den Werken von Desargues (vgl. die von Poudra 1864 besorgte Ausgabe)
findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive
Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, dass man
dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet
betrachteten die Schluesse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als
der Strenge entbehrend (vgl. _Traite des proprietes projectives_, Bd. II,
S. 128). Jedoch wurde das von Desargues vorgeschlagene Verfahren in der
neueren Zeit wiederholentlich von demselben Poncelet (a.a.O. Bd. I, S.
374), von Jonquieres (in verschiedenen Abhandlungen in den _Annali di
Matem., Journ. f. Math._ und in den _Math. Ann._), von Cremona (s. die
_Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane_) gebraucht, und
gehoert heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem "Prinzip
der Erhaltung der Anzahl" verdanken.
[13] Vgl. E. Dubois-Reymond, _Kulturgeschichte und Naturwissenschaft_, in
den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.
[14] Favaro, _Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni.
Memorie di Modena_, 18, 1879.
Matthiessen, _Grundzuege der antiken und modernen Algebra der litteralen
Gleichungen_ (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt.
[15] Ueber den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man Guenther, _Die
Anfaenge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes_
(_Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nuernberg_, 6) und ueber
Cartesius die Rede von Jacobi, ins Franzoesische uebersetzt und
veroeffentlicht in _Liouvilles Journ._ 12 unter dem Titel: _De la vie de
Descartes et de sa methode pour bien conduire la raison et chercher la
verite dans les sciences._
[16] Siehe z. B. den _Traite de la lumiere_ (Leyden, 1691).
[17] _Sectiones conicae in novem libros distributae_ (Paris, 1685),
_Memoires sur les Epicycloides_ (_Anciennes Memoires de l'Academie des
sciences,_ 9), _Traite des roulettes_ etc. (ebendas., 1704).
[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach,
sowie seine Versuche, verloren gegangene Buecher (wie das achte Buch von
Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen.
[19] Vergl. sein Buch _A complete System of Fluxions_ (Edinburgh, 1742).
[20] _Treatise on conic Sections_ (1735).
[21] _General theorems of considerable use in the higher parts of
mathematics_ (Edinburgh, 1746); _Propositiones geometricae more veterum
demonstratae_ (Edinburgh, 1763).
[22] Hinsichtlich der von Simpson und Stewart gemachten Versuche, die
griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man Buckle,
_Geschichte der Civilisation in England_ (deutsch von A. Ruge), Bd. I,
Kap. 5.
[23] Die von den Griechen hauptsaechlich untersuchten Kurven sind: der
Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale,
die Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des
Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige
andere. Zu diesen fuegten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und
die Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide,
die Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie,
die Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzaehlige andere.
[24] Siehe das fuenfte Buch seiner _Exercitationes geometriae._
[25] Parent, _Essai et Recherches de Mathematiques et de Physique_
(II. Aufl. 1713), Bd. 2.
[26] _Traite de Courbes a double courbure._ 4
[27] _Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.)._
[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784);
_Feuilles d'analyse appliquee a la geometrie_ (Paris, 1795), oder
_Applications de l'Analyse a la Geometrie_ (Paris, 1801).
[29] Ausspruch von d'Alembert.
[30] _Lecons de geometrie descriptive_ (Paris, 1794).
[31] In Bezug auf Monge sehe man Dupin, _Essai historique sur les services
et les travaux scientifiques de Gaspard Monge_ (Paris, 1819); Arago,
_Notices biographiques._
Ueber die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden
Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von Chr.
Wiener, _Lehrbuch der darstellenden Geometrie_ (Leipzig, 1884, 1887), in
welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird,
sei es ueber die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es
ueber die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben.
Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner
Kollegen [unter anderen Lacroix (1765-1843) und Hachette (1769-1834)],
sowie viele von seinen Schuelern an der polytechnischen Schule. Der Kuerze
halber beschraenke ich mich darauf, den anzufuehren, "der ueber die anderen
wie ein Adler fliegt", Charles Dupin (1784-1873), vorzueglich wegen seiner
klassischen _Developpements de geometrie_ (1813), die noch von allen
gelesen werden muessen, welche auch nur eine maessige Kenntnis des heutigen
Zustandes der Geometrie erlangen wollen.
[32] Monge's Einfluss laesst sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken;
zum Beweise genuege es, die Idee anzufuehren, die Schranken, durch welche
die Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten,
niederzureissen, und den gluecklichen Versuch, den neuerdings (1884) De
Paolis in seinen goldenen _Elementi di Geometria_ (Turin) gemacht hat,
dieselbe auszufuehren.
[33] "La Geometrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de
la metaphysique de la Science, le haut merite que je lui ai attribue,
qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progres que la
Geometrie, cultivee a la maniere des anciens, a fait depuis trente ans en
France et en Allemagne" (Arago, _Biographie de Carnot_).
[34] Zweite Auflage, 1865, 1866.
[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C.
Taylor, _On the history of geometrical continuity_ (_Cambridge Proc._, 1880
und 1881).
[36] _Doctrina triangulorum canonicae_ u. s. w. (Leyden, 1627).
[37] _Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII._ (Opera
Vietae, 1646).
[38] _Gergonnes Ann._ 17.
[39] Jacobi, _Journ. fuer Math._ 3; Richelot, das. 5, 38; Rosanes und
Pasch, ebendas. 64; Leaute, _Comptes rendus_, 79; Fergola, Padeletti und
Trudi, _Napoli Rend._ 21; Simon, _Journ. fuer Math._ 81; Gundelfinger, das.
83; Halphen, _Liouvilles Journ._ III, 5; _Bull. de la Soc. philom._ VII, 3.
Man sehe auch die interessante Abhandlung von Hurwitz: _Ueber
unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere ueber die
Schliessungsprobleme_ (_Math. Ann._ 15) und die Note von Forsith, _On in-
and circumscribed polyhedra_ (_Proc. Math. Soc._ 1883).
[40] In deutscher Uebersetzung von Sohncke: _Geschichte der Geometrie,
hauptsaechlich in Bezug auf die neueren Methoden_ (Halle, 1839), jedoch
ohne das _Memoire sur deux principes generaux de la science_ (vgl. die
folgende Note). Das franzoesische Original erschien 1875 in 2. Auflage.
[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von Chasles bilden, verdient eine
besondere Erwaehnung die Abhandlung (fuer welche urspruenglich der _Apercu
historique_ als Einleitung dienen sollte) _Sur deux principes generaux de
la Science_, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation)
und der Reciprocitaet enthaelt, sowie die Untersuchung der beiden Faelle,
in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser
Transformationen auf das Studium der Flaechen zweiten Grades und der
geometrischen Oberflaechen ueberhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des
cartesischen Koordinatensystems. Auch muessen noch die _Noten_ erwaehnt
werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische
Untersuchungen von grosser Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will
ich diejenigen anfuehren, in denen die Theorie des Doppel- oder
anharmonischen Verhaeltnisses und der Involution, die anharmonischen
Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flaechen
zweiten Grades, viele Lehrsaetze ueber die kubischen Raumkurven,
glueckliche Versuche, die Saetze von Pascal und Brianchon auf die Flaechen
zweiten Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der stereographischen
Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind.
[42] Dieser Uebergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit
einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen Poncelet, Chasles
und Bobillier zu Gegnern hatten Pluecker, Steiner und Magnus und deren
Hauptschauplatz das _Bulletin_ von Ferussac war. -- Hier wuerde es am Orte
sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den
Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafuer
wuerde die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin,
noetig sein. Im Uebrigen sind nach meinem Dafuerhalten gewisse Produktionen
der menschlichen Intelligenz eine natuerliche Frucht ihrer Zeit; daher darf
es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Koepfen
hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklaerung dieser
Thatsache in der "mala fides" dieses oder jenes zu suchen. Dass solches
wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht
heute ausser allem Zweifel. Dass dies ebenso bei der modernen Geometrie
eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, dass dieselbe hervorgegangen
ist aus einem allseitig gefuehlten Beduerfnisse (man vergleiche dazu den
Ausspruch Dupins _[Developpements de geometrie]_, der als Motto auf dem
_Traite des proprietes projectives des figures_ steht, mit der Vorrede der
_Systematischen Entwickelung_ und mit dem _Apercu historique_ an
verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden
dienen sollten zur Fuehrung in dem Labyrinthe von Hilfssaetzen,
Lehrsaetzen, Porismen und Problemen, die von den Vorfahren ueberliefert
sind.
[43] Die hauptsaechlichste Arbeit von Moebius auf dem Gebiete der reinen
Geometrie ist die mit dem Titel: _Der barycentrische Calcul_ (Leipzig,
1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse ueber den Schwerpunkt
(Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen
Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese fuehrt zu einem neuen
Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und
ebenen Kurven und der Oberflaechen der Verfasser darlegt. In demselben
werden ferner methodisch und in grosser Ausfuehrlichkeit wichtige
geometrische Transformationen, die heute noch fortwaehrend Anwendung
finden, betrachtet. Viele spaetere Abhandlungen von Moebius sind als
Anhaenge zum barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten
Baende der _Gesammelten Werke_ von Moebius, herausgegeben auf Veranlassung
der Saechsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)
[44] Ich meine das Werk: _Systematische Entwickelung der Abhaengigkeit
geometrischer Gestalten von einander_ (Berlin, 1832), in dem "der
Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten
Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind". -- Die spaeteren
Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das
angefuehrte Werk stuetzen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben
dazu hatte, den Inhalt durch die schon angefuehrten Worte zu
charakterisieren. Steiners _Gesammelte Werke_ sind auf Veranlassung der
Akademie der Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).
[45] Des Naeheren will ich hier nur die drei Buecher anfuehren:
_Analytisch-geometrische Entwickelungen_ (Essen, 1828-1831), _System der
analytischen Geometrie_ (Berlin, 1835), _Theorie der algebraischen Kurven_
(Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhaengenden Abhandlungen, die in
_Gergonnes Ann._ und im _Journ. fuer Math._ veroeffentlicht sind.
[46] Das Werk, in welchem Staudt sein System der Geometrie dargelegt hat,
wurde im Jahre 1847 zu Nuernberg veroeffentlicht unter dem Titel:
_Geometrie der Lage_. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die
Ursache der grossen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben
stiess; heute erst sind, dank den von Reye (in erster Auflage 1866-1868
erschienenen und) unter demselben Titel veroeffentlichten Vorlesungen die
in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie
beschaeftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen Laendern eine
Uebersetzung desselben angefertigt.
Nicht weniger wichtig sind die _Beitraege zur Geometrie der Lage_ (in 3
Heften), welche Staudt seiner _Geometrie der Lage_ 1866-1860 folgen liess.
Wir beschraenken uns darauf, hervorzuheben, dass dort die einzige strenge,
allgemeine und vollstaendige Theorie der imaginaeren Elemente in der
projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in
verschiedener Weise von mehreren Geometern, Lueroth (_Math. Ann._ 8, 11),
August (_Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin_, 1872) und Stolz
(_Math. Ann._ 4) erlaeutert; ueber die eng mit ihr zusammenhaengende
Rechnung mit den "Wuerfen" sehe man ausser den erwaehnten Abhandlungen von
Lueroth noch zwei Arbeiten von Sturm _(Math. Ann._ 9) und Schroeder
(ebendas. 10).
[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkuerlich; vielleicht wird
mancher, indem er bedenkt, dass gewisse Theorien mit demselben Rechte zu
mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehoeren koennen, dieselbe
unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, dass die meisten nach
reiflicher Pruefung des besprochenen Gegenstandes finden werden, dass die
von mir gewaehlte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.
[48] Cotes, _Harmonia mensurarum_ (1722); Maclaurin, _De linearum
geometricarum proprietatibus generalibus tractatus_. (Ins Franzoesische
uebersetzt von de Jonquieres und seinen _Melanges de Geometrie pure_
[Paris, 1856] angehaengt.)
[49] _Miscellanea analytica_ etc. (1762); _Proprietates geometricarum
curvarum_ (1772); _Phil. Trans._ 1763-1791.
[50] _Geometria organica_ (1720).
[51] _Phil. Trans._ 1735; _Exercitationes Geometriae de descriptione
linearum curvarum_ (1733).
[52] Uebrigens hat, wie C. Taylor (_Cambridge Proc._ 3) bemerkte, Newton
selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der
_Enumeratio linearum tertii ordinis_ auf Kurven hoeherer Ordnung
ausgedehnt.
[53] _Usage de l'analyse de Descartes_ (1740).
[54] _Introductio in analysin infinitorum_. 2. Bd.
[55] _Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques_.
[56] Kurz vor der Veroeffentlichung des Cramerschen Werkes fand Euler (man
sehe die _Berliner Abh._ 1748), dass von den neun Grundpunkten eines
Bueschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht uebrigen
bestimmt ist.
[57] _Gergonnes Ann._ 17, 19.
[58] _Journ. fuer Math._ 16; _Theorie der algebraischen Curven_ (wo S.
12-13 sich eine kurze Geschichte dieser Saetze findet).
[59] _Journ. fuer Math._ 15.
[60] _Cambridge Journ._ 3; vgl. Bacharach, _Math. Ann._ 26.
[61] Riemann, _Journ. fuer Math._ 54; Clebsch, das. 58; Roch, ebendas. 64;
Clebsch und Gordan, _Theorie der Abelschen Funktionen_ (Leipzig, 1866);
Brill und Noether, _Ueber die algebraischen Funktionen_ u. s. w. (_Math.
Ann._ 7); Cremona, _Bologna Mem._ 1870; Casorati, Cremona und Brioschi,
_Lombardo Rend._ II, 2.
[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem "Prinzipe
der Abzaehlung der Konstanten" Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir
wollen dasselbe erwaehnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode
stuetzt, deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich
Beispiele von Irrtuemern anfuehren lassen, zu denen es fuehren kann, wenn
es ohne die notwendige Vorsicht angewandt wird.
Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden
Buecher, deren Existenz ich aus einer Anfuehrung Plueckers kenne (_Theorie
der algebraischen Curven_, S. 206); A. Peters, _Neue Curvenlehre_ 1835;
C. C. F. Krause, _Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere
scientificae specimina quinque prima_. _Edidit Schroeder_, 1835.
[63] S. auch eine Abhandlung Plueckers, _Liouvilles Journ._ 1.
[64] _Mem. pres._ 1730-31-32.
[65] S. die in Note 54 citierte _Introductio_.
[66] Hierzu siehe Clebsch, _Vorlesungen ueber Geometrie_, S. 352; Malet,
_Hermathema_, 1880; Pellet, _Nouv. Ann._ II., 20, 1881.
[67] Cayley, _Quart. Journ._ 7 und _Journ. fuer Math._ 64; La Gournerie,
_Liouvilles Journ._ II, 14; Noether, _Math. Ann._ 9; Zeuthen, das. 10;
Halphen, _Comptes rendus_ 78, _Liouvilles Journ._ II, 2, _Mem. pres._ 26;
J. S. Smith, _Proc. math. Soc._ 6; Brill, _Math. Ann._ 16; Raffy, das. 23.
-- An diese Frage knuepft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte
zweier Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte
absorbiert werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von
Zeuthen, _Acta math._ 1.
[68] _Journ. fuer Math._ 40; vgl. Clebsch (das. 63).
[69] _Journ. fuer Math._ 36, 40, 41.
[70] _Phil. Mag._ Oktoberheft 1858.
[71] _Phil. Trans._ 1859.
[72] z. B. Dersch, _Math. Ann._ 7.
[73] _A Treatise on higher plane curves_ (1852); ins Deutsche uebertragen
durch Fiedler (Leipzig, 1873)
[74] _Gergonnes Ann._ 19.
[75] _Journ. fuer Math._ 24. -- Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven
und Oberflaechen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise
von Clifford (1845-1879) (_Proc. math. Soc._ 1868 oder _Mathematical Papers
of Clifford_, 1882, S. 115) und von Reye (_Journ. fuer Math._ 72, 78)
verallgemeinert. De Paolis widmete ihr eine interessante Schrift, welche in
den _Lincei Mem._ 1885-1886 veroeffentlicht ist.
[76] _Comptes rendus_, 1853.
[77] _Essai sur la generation des courbes geometriques_, 1858 (_Mem. pres._
16). Vgl. Haertenberger, _Journ. fuer Math._ 58; Olivier das. 70, 71;
Schoute, _Nieuw Archief voor Wiskunde_, 4, und die allerneuesten
Untersuchungen von Jonquieres ueber die Maximalzahl der vielfachen Punkte,
die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (_Comptes rendus_
105).
[78] Veroeffentlicht im Jahre 1862 in den _Bologna Mem._ Moege es mir
gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, dass der beruehmte Cremona,
dessen Interesse fuer die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt
ist, seine beruehmten Schriften ueber die Theorie der Kurven und
Oberflaechen durch neue Ausgaben allen zugaenglich machen wolle. -- Diese
Schriften sind in deutscher Uebersetzung von Curtze unter dem Titel:
_Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Kurven_ (Greifswald,
1865), bez. _Grundzuege einer allgemeinen Theorie der Oberflaechen in
synthetischer Behandlung_ (Berlin, 1870) erschienen.
[79] Als Vorbereitung fuer solche Untersuchungen sind die von Aronhold
(_Berliner Ber._ 1861) anzusehen, dann die von Brioschi (_Comptes rendus_,
1863, 64) ueber die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen
Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.
[80] _Journ. fuer Math._ 58, 64. Die von Clebsch erhaltenen Resultate haben
sich infolge des schoenen Werkes von Lindemann, welches den Titel traegt:
_Vorlesungen ueber Geometrie von A. Clebsch_ (I. Bd. Leipzig, 1876) und von
dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewuenscht wird, schnell
verbreitet.
[81] _Ueber die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der
Geometrie. Math. Ann._ 7.
[82] Zu den im Texte angefuehrten Schriften muessen noch die von Brill
hinzugezogen werden (_Math. Ann._ 13), ferner die von Geiser (_Annali di
Matem._ II, 9) und die von Del Pezzo (_Napoli Rend._ 22) ueber den
Zusammenhang, der zwischen den Singularitaeten einer Kurve und denen ihrer
Hesseschen Kurve besteht; ferner die von Laguerre (_Comptes rendus_ 40) und
Holst (_Math. Ann._ 11 und _Archiv for Mathematik og Naturvidenskab_ 7),
ueber die metrischen Eigenschaften der Kurven.
[83] _De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus._
[84] Vgl. Salmon-Fiedler, _Hoehere ebene Kurven_, 5. Kap.
[85] _Phil. Trans._ 1857; _Liouvilles Journ._ 9, 10.
[86] _Journ. fuer Math._ 42.
[87] _Zeitschr. f. Math._ 17; _Prager Ber._ 1871. -- Man sehe auch das Buch
_Die ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von
Gent (_Zeitschr. f. Math._ 17).
[88] _Giorn. di Matem._ 2.
[89] _Journ. fuer Math._ 90.
[90] _Prager Abh._ VI, 5.
[91] _Goettinger Nachr._ 1871 und 1872.
[92] _Journ. fuer Math._ 78.
[93] Hierzu Harnack, _Math. Ann._ 9. Caporali, _Lincei Atti_, III, 1; Folie
und Le Paige, _Memoires de l'Academie de Belgique_, 43. Halphen, _Math.
Ann._ 15; _Bull. Soc. math._ 9.
[94] _Siehe Giorn. di Matem._, _Lombardo Rend._, _Math. Ann._, _Wiener
Ber._ und _Prager Ber._
[95] Fuer die Clebschschen Arbeiten sehe man die in Note 80 angefuehrten
Baende des _Journ. fuer Math._ nach. Ueber die ebenen rationalen Kurven
dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von Durege (_Math. Ann._ 1), Igel
(das. 6), Rosenow (Dissertation, Breslau, 1873), Schubert (_Math. Ann._
12), Dingeldey (das. 27, 28); ueber die Kurven vierter Ordnung die von
Brill (Math. Ann. 12) und Nagel (das. 19); ueber die fuenfter Ordnung von
Rohn (das. 25), und ueber die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die
Schriften von Haase (_Math. Ann._ 2), von Lueroth (das. 9), Pasch (das.
18), Brill (das. 20), von Weltzien (das. 26) und Garbieri (_Giorn. di
Matem._ 16).
[96] _Journ. fuer Math._ 47; _Comptes rendus_, 1871.
[97] _Journ. fuer Math._ 53.
[98] Guessfeldt, _Math. Ann._ 2; Laguerre, _Bull. Soc. math._ 7; Cremona
und Clebsch, _Journ. f. Math._ 64; Kiepert, _Zeitschr. f. Math._ 17; Frahm
ebendas. 18; Milinowski das. 19; Intrigila, _Giorn. di Matem._ 23; Kantor,
_Wiener Ber._ 1878 und _Bull. Sciences math._ II, 3.
[99] _Giorn. di Matem._ 15.
[100] _Journ. fuer Math._ 65.
[101] _Math. Ann._ 4.
[102] _Bull. de la Societe philomathique_, VII, I.
[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das
Quadrat des vermittelst einer primaeren Transformation ungerader Ordnung
transformierten Moduls und schliesslich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende
Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F([alpha],
[beta], [gamma]) = 0. Siehe _Proc. math. Soc._ 9.
[104] _Journ. f. Math._ 65; vgl. Ed. Weyr das. 73; Hurwitz, _Math. Ann._
19.
[105] _Math. Ann._ 24.
[106] _Journ. fuer Math._ 95, 99; siehe auch die Abhandlung von August,
_Grunerts Arch._ 59.
[107] _Transactions of the Royal Society of Edinburgh_ 25.
[108] _Math. Ann._ 5.
[109] _Math. Ann._ 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von Harnack in
der _Zeitschr. f. Math._ 22. Die hauptsaechlichsten von Durege und
Schroeter auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsaetze sind analytisch von
Walter in seiner Dissertation _Ueber den Zusammenhang der Kurven dritter
Ordnung mit den Kegelschnittscharen_ (Giessen, 1878) bewiesen. Den
genannten Schriften Schroeters ueber die Kurven dritter Ordnung koennen wir
nun noch sein neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: _Die
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1888) hinzufuegen.
[110] _Math. Ann._ 5.
[111] _Math. Ann._ 1, 13; vgl. Clebsch, _Journ. fuer Math._ 59.
[112] _Irish Trans._ 1869.
[113] Siehe dessen Werk, _Sur une classe remarquable de courbes et surfaces
algebriques_ (Paris, 1873).
[114] _Journ. fuer Math._ 57, 59, 66.
[115] _Tidsskrift for Mathematik_, IV, 3.
[116] _Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn_ 1879.
[117] Erschienen in den _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_
(Mailand, 1881).
[118] _Journ. fuer Math._ 28, 34, 38.
[119] _Journ. fuer Math._ 49, 55; vgl. auch Cayley (das. 58).
[120] _Journ. fuer Math._ 49.
[121] _Berliner Ber._ 1864, sowie _Nouv. Ann._ II, 11.
[122] _Math. Ann._ 1; _Journ. fuer Math._ 72.
[123] Vgl. Note 80.
[124] _Journ. fuer Math._ 66. -- Ueber die Doppeltangenten einer Kurve
vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: Riemann, _Zur Theorie der
Abelschen Funktionen fuer den Fall p=3_. _Gesammelte Werke_ (Leipzig,
1876), S. 456-499; Noether, _Math. Ann._ 15; Cayley, _Journ. fuer Math._
94; Frobenius (das. 99); Freyberg, _Math. Ann. _17; H. Weber (ebendas. 23).
[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die Mongesche Schule an
der Schoepfung der Theorie der Flaechen zweiten Grades hatte, zu
ueberzeugen, genuegt es, sich folgendes zu vergegenwaertigen: Ihr verdanken
wir die doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des
hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (Monge,
_Journ. Ec. polyt._ 1) und die Erzeugung aller Flaechen zweiten Grades, mit
Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises
(Hachette, _Elements de Geometrie a trois dimensions_). Monge und Hachette
verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberflaeche
zweiter Ordnung; Monge (_Correspondance sur l'Ecole polytechnique_) die
Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trieder, deren
Kanten eine Flaeche zweiter Ordnung beruehren, und Bobillier (_Gergonnes
Ann._ 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trieder, deren
Seitenflaechen eine Flaeche zweiter Ordnung beruehren; Monge bestimmte die
Kruemmungslinien des Ellipsoides (_Journ. Ec. polyt._ 2); Livet (das. 13)
und Binet (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsaetze des Apollonius auf
den Raum aus, waehrend Chasles (_Correspondance sur l'Ec. polyt._) andere
analoge Saetze gab; Dupin (_Journ. Ec. polyt._ 14) machte einige
interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflaechen bekannt. Brianchon
(das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Flaeche zweiten Grades
ebenfalls eine Flaeche zweiten Grades sei, u. s. w.
[126] _Journ. fuer Math._ 12.
[127] _Irish Proc._ 2.
[128] _Apercu historique_, Note 25, 28, 31, 32; _Comptes rendus_, 1855;
_Liouvilles Journ._ 1860 u. s. w.
[129] _Journ. fuer Math._ 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.
[130] _Grunerts Arch._ 9.
[131] _Journ. fuer Math._ 62. Ueber die Oberflaechen zweiter Ordnung sehe
man auch die Abhandlungen von Townsend (_Cambridge Journ._ 3), von Darboux
(_Bull. Soc. Math._ 2), von Meray und Cremona (_Annali di matem._ I, 3)
u. s. w. und die _Geometrie de direction_ (Paris, 1869) von P. Serret.
Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der Theorie der Flaechen
zweiten Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer
Punkte gegeben sind. Dieselbe wurde von Seydewitz (_Grunerts Arch._ 9),
Chasles (_Comptes rendus_, 1855), Steiner (_Gesammelte Werke_, II. Bd.,
_Nachlass_), Schroeter (_Journ. fuer Math._ 62), Sturm (_Math. Ann._ 1) und
Dino (_Napoli Rend._ 1879) geloest. -- Daran knuepft sich die Untersuchung
des achten Punktes, der allen Flaechen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die
durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger
Untersuchungen von Hesse (_Journ. fuer Math._ 20, 26, 73, 75, 99), Picquet
(das. 73, 99), Caspary, Schroeter, Sturm, Zeuthen (das. 99) und Reye (das.
100).
Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flaechen zweiten
Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flaechen zweiten Grades reziproke
Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von Battaglini
behandelt (_Lincei Atti,_ 1875), von d'Ovidio (_Giorn. di Matem._ 10) und
synthetisch von Thieme (_Zeitschr. f. Math._ 22).
Ueber einige Flaechen zweiten Grades, welche besondere metrische
Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben
geschrieben: Steiner (_Journ. fuer Math._ 2 und _Systematische
Entwickelung_), Chasles (_Liouvilles Journ._ 1 [1836]), Schroeter (_Journ.
fuer Math._ 85), Schoenfliess (_Zeitschr. fuer Math._ 23, 24 und _Journ.
fuer Math._ 99), Vogt (_Journ. fuer Math._ 86) und Ruth (_Wiener Ber._ 80).
Zu den neuesten Studien ueber die Flaechen zweites Grades gehoeren die von
Zeuthen (_Math. Ann._ 19, 26) ueber die Theorie der projektiven Figuren auf
einer solchen Flaeche; daran schliessen sich auch einige schoene
Untersuchungen, welche Voss gemacht hat (_Math. Ann._ 25, 26), um gewisse
Resultate von Poncelet und Bruno (_Torino Atti_ 17) weiter auszudehnen.
Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie
bemerkenswert, welche Staude (_Math. Ann._ 20, 21, 25, 27) gemacht hat.
[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen
Lehrbuechern diesen Oberflaechen gewidmet haben: Hesse (_Vorlesungen ueber
die analytische Geometrie des Raumes_), Salmon (_Analytische Geometrie des
Raumes_), Cremona (_Preliminari di una teoria geometrica delle
superficie_), Reye (_Die Geometrie der Lage_) und Schroeter (_Theorie der
Oberflaechen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung_).
[133] _Memoire de geometrie sur deux principes generaux de la science_
(Anhang zum _Apercu historique_).
[134] _Gergonnes Ann._ 17.
[135] _Memoire sur la theorie generale des polaires reciproques_. (_Journ.
fuer Math._ 4).
[136] _Cambridge Journ._ 2, 4; _Irish Trans._ 23.
[137] _Cambridge Journ._ 7, 8; _Phil. Trans._ 1869, 71 u. 72. Man sehe auch
die von Zeuthen in den _Math. Ann._ 4, 9, 10, von Jonquieres in den _Nouv.
Ann._ 13 und von Halphen in den _Annali di Matem._ II, 9 veroeffentlichten
Abhandlungen.
[138] _Journ. fuer Math._ 15.
[139] _Math. Ann._ 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von Padova im _Giorn. di
Matem._ 9, sowie eine von Valentiner, _Tidsskrift for Mathematik_ IV, 3.
[140] _Comptes rendus_ 45.
[141] _Preliminari di una teoria geometrica delle superficie_. (_Bologna
Mem._ II, 6, 7).
[142] _Wiener Ber._ 1877, 1882.
[143] _Math. Ann._ 27.
[144] _Journ. fuer Math._ 49.
[145] _Cambridge Journ._ 4; _Quart. Journ._ 1; _Phil. Trans._ 1860.
[146] _Journ. fuer Math._ 58, 63.
[147] _Journ. fuer Math._ 72.
[148] _Math. Ann._ 10, 11, 12; _Abzaehlende Geometrie_, 5. Abschnitt. S.
auch Krey, _Math. Ann._ 15.
[149] _Math. Ann._ 23.
[150] _Journ. fuer Math._ 72, 78, 79, 82.
[151] _Geometry of three dimensions_; in deutscher Uebersetzung von
Fiedler: _Analytische Geometrie des Raumes in zwei Baenden_ (3. Auflage,
1879/80).
[152] _Preliminari_ etc. Vgl. Note 141.
[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angefuehrten Arbeiten.
[154] _Cambridge Journ._ 6.
[155] Auch im _Journ. fuer Math._ 53 publiziert.
[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von Cayley
und Salmon im Zusammenhange steht, ist eine von Schlaefli (_Quart. Journ._
2), die besonders dadurch wichtig ist, dass sie die erste ist, welche den
Begriff der "Doppelsechs" enthaelt.
[157] _Journ. fuer Math._ 62.
[158] _Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis_ (Berlin, 1862).
[159] _Journ. fuer Math._ 68; ferner _Grundzuege einer allgemeinen Theorie
der Oberflaechen_ (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche
Uebersetzung der in Note 141 und 152 zitierten "_Preliminari_" und
diejenige dieser Preisschrift (durch Curtze) vereinigt sind.
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