Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
by Isaac Newton · Latin · Gutenberg #28233 · 828,938 chars · public domain (US)
The Project Gutenberg eBook of Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States and
most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions
whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms
of the Project Gutenberg License included with this eBook or online
at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States,
you will have to check the laws of the country where you are located
before using this eBook.
Title: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Author: Isaac Newton
Release date: March 1, 2009 [eBook #28233]
Most recently updated: August 25, 2026
Language: Latin
Other information and formats: www.gutenberg.org/ebooks/28233
Credits: Produced by Jonathan Ingram, Keith Edkins and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA ***
Transcriber's note: A few typographical errors have been corrected: they
are listed at the end of the text.
{Braces} are inserted by the Transcriber to clarify the meaning of maths
expressions. Overlining is the method of grouping used in the original and
is marked [=like this]. In Lib. I. Lemma XVIII. & XX. [r] is upright r
distinguished from italics, in Lemma XVIII. [s] is long-s distinguished
from short-s, and in Prop. XXII. [D] is small-caps distinguished from
normal font size.
* * * * *
PHILOSOPHIÆ
NATURALIS
PRINCIPIA
MATHEMATICA
* * * * *
Autore _IS. NEWTON_, _Trin. Coll. Cantab. Soc._ Matheseos
Professore _Lucasiano_, & Societatis Regalis Sodali.
* * * * *
IMPRIMATUR.
S. PEPYS, _Reg. Soc._ PRÆSES.
_Julii 5. 1686._
* * * * *
_LONDINI,_
Jussu _Societatis Regiæ_ ac Typis _Josephi Streater_. Prostat apud
plures Bibliopolas. _Anno_ MDCLXXXVII.
* * * * *
ILLUSTRISSIMÆ
SOCIETATI REGALI
a Serenissimo
REGE CAROLO II.
AD
PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM
FUNDATÆ,
ET AUSPICIIS
POTENTISSIMI MONARCHÆ
JACOBI II.
FLORENTI.
Tractatum hunc humillime _D.D.D._
_IS. NEWTON._
* * * * *
PRÆFATIO
AD
LECTOREM.
_Cum Veteres _Mechanicam_ (uti Author est _Pappus_) in verum Naturalium
investigatione maximi fecerint, & recentiores, missis formis
substantialibus & qualitatibus occultis, Phænomena Naturæ ad leges
Mathematicas revocare aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu _Mathesin_
excolere quatenus ea ad _Philosophiam_ spectat. _Mechanicam_ vero duplicem
Veteres constituerunt: _Rationalem_ quæ per Demonstrationes accurate
procedit, & _Practicam_. Ad practicam spectant Artes omnes Manuales, a
quibus utiq; _Mechanica_ nomen mutuata est. Cum autem Artifices parum
accurate operari soleant, fit ut _Mechanica_ omnis a _Geometria_ ita
distinguatur, ut quicquid accuratum sit ad _Geometriam_ referatur, quicquid
minus accuratum ad _Mechanicam_. Attamen errores non sunt Artis sed
Artificum. Qui minus accurate operatur, imperfectior est Mechanicus, & si
quis accuratissime operari posset, hic foret Mechanicus omnium
perfectissimus. Nam & Linearum rectarum & Circulorum descriptiones in
quibus _Geometria_ fundatur, ad _Mechanicam_ pertinent. Has lineas
describere _Geometria_ non docet sed postulat. Postulat enim ut Tyro easdem
accurate describere prius didicerit quam limen attingat _Geometriæ_; dein,
quomodo per has operationes Problemata solvantur, docet. Rectas & circulos
describere Problemata sunt sed non Geometrica. Ex _Mechanica_ postulatur
horum solutio, in _Geometria_ docetur solutorum usus. Ac gloriatur
_Geometria_ quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa præstet.
Fundatur igitur _Geometria_ in praxi Mechanica, & nihil aliud est quam
_Mechanicæ universalis_ pars illa quæ artem mensurandi accurate proponit ac
demonstrat. Cum autem artes Manuales in corporibus movendis præcipue
versentur, fit ut _Geometria_ ad magnitudinem, _Mechanica_ ad motum vulgo
reseratur. Quo sensu _Mechanica rationalis_ erit Scientia Motuum qui ex
viribus quibuscunq; resultant, & virium quæ ad motus quoscunq; requiruntur,
accurate proposita ac demonstrata. Pars hæc _Mechanicæ_ a Veteribus in
_Potentiis quinque_ ad artes manuales spectantibus exculta fuit, qui
Gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam in ponderibus
per potentias illas movendis considerarunt. Nos autem non Artibus sed
Philosophiæ consulentes, deq; potentiis non manualibus sed naturalibus
scribentes, ea maxime tractamus quæ ad Gravitatem, levitatem, vim
Elasticam, resistentiam Fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu
impulsivas spectant: Et ea propter hæc nostra tanquam Philosophiæ principia
Mathematica proponimus. Omnis enim Philosophiæ difficultas in eo versari
videtur, ut a Phænomenis motuum investigemus vires Naturæ, deinde ab his
viribus demonstremus phænomena reliqua. Et hac spectant Propositiones
generales quas Libro primo & secundo pertractavimus. In Libro autem tertio
exemplum hujus rei proposuimus per explicationem Systematis mundani. Ibi
enim, ex phænomenis cælestibus, per Propositiones in Libris prioribus
Mathematice demonstratas, derivantur vires gravitatis quibus corpora ad
Solem & Planetas singulos tendunt. Deinde ex his viribus per Propositiones
etiam Mathematicas deducuntur motus Planetarum, Cometarum, Lunæ & Maris.
Utinam cætera Naturæ phænomena ex principiis Mechanicis eodem argumentandi
genere derivare liceret. Nam multa me movent ut nonnihil suspicer ea omnia
ex viribus quibusdam pendere posse, quibus corporum particulæ per causas
nondum cognitas vel in se mutuo impelluntur & secundum figuras regulares
cohærent, vel ab invicem fugantur & recedunt: quibus viribus ignotis,
Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt. Spero autem quod vel huic
Philosophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic posita lucem aliquam
præbebunt._
_In his edendis, Vir acutissimus & in omni literarum genere eruditissimus
_Edmundus Halleius_ operam navavit, nec solum Typothetarum Sphalmata
correxit & Schemata incidi curavit, sed etiam Author fuit ut horum
editionem aggrederer. Quippe cum demonstratam a me figuram Orbium cælestium
impetraverat, rogare non destitit ut eadem cum _Societate Regali_
communicarem, Quæ deinde hortatibus & benignis suis auspiciis effecit ut de
eadem in lucem emittenda cogitare inciperem. At postquam Motuum Lunarium
inæqualitates aggressus essem, deinde etiam alia tentare cæpissem quæ ad
leges mensuras Gravitatis & aliarum virium, ad figuras a corporibus
secundum datas quascunque leges attractis describendas, ad motus corporum
plurium inter se, ad motus corporum in Mediis resistentibus, ad vires,
densitates & motus Mediorum, ad Orbes Cometarum & similia spectant,
editionem in aliud tempus differendam esse putavi, ut cætera rimarer & una
in publicum darem. Quæ ad motus Lunares spectant, (imperfecta cum sint,) in
Corollariis Propositionis _LXVI._ simul complexus sum, ne singula methodo
prolixiore quam pro rei dignitate proponere, & sigillatim demonstrare
tenerer, & seriem reliquarum Propositionum interrumpere. Nonnulla sero
inventa locis minus idoneis inserere malui, quam numerum Propositionum &
citationes mutare. Ut omnia candide legantur, & defectus, in materia tam
difficili non tam reprehendantur, quam novis Lectorum conatibus
investigentur, & benigne suppleantur, enixe rogo._
* * * * *
IN
VIRI PRÆSTANTISSIMI
D. ISAACI NEWTONI
OPUS HOCCE
MATHEMATICO-PHYSICUM
_Sæculi Gentisque nostræ Decus egregium._
En tibi norma Poli, & divæ libramina Molis,
Computus atque Jovis; quas, dum primordia rerum
Pangeret, omniparens Leges violare Creator
Noluit, æternique operis fundamina fixit.
Intima panduntur victi penetralia cæli,
Nec latet extremos quæ Vis circumrotat Orbes.
Sol solio residens ad se jubet omnia prono
Tendere descensu, nec recto tramite currus
Sidereos patitur vastum per inane moveri;
Sed rapit immotis, se centro, singula Gyris.
Jam patet horrificis quæ sit via flexa Cometis;
Jam non miramur barbati Phænomena Astri.
Discimus hinc tandem qua causa argentea Phoebe
Passibus haud æquis graditur; cur subdita nulli
Hactenus Astronomo numerorum fræna recuset:
Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur.
Discimus & quantis refluum vaga Cynthia Pontum
Viribus impellit, dum fractis fluctibus Ulvam
Deserit, ac Nautis suspectas nudat arenas;
Alternis vicibus suprema ad littora pulsans.
Quæ toties animos veterum torsere Sophorum,
Quæque Scholas frustra rauco certamine vexant
Obvia conspicimus nubem pellente Mathesi.
Jam dubios nulla caligine prægravat error
Queis Superum penetrare domos atque ardua Coeli
Scandere sublimis Genii concessit acumen.
Surgite Mortales, terrenas mittite curas
Atque hinc coeligenæ vires dignoscite Mentis
A pecudum vita longe lateque remotæ.
Qui scriptis jussit Tabulis compescere Cædes
Furta & Adulteria, & perjuræ crimina Fraudis;
Quive vagis populis circumdare moenibus Urbes
Autor erat; Cererisve beavit munere gentes;
Vel qui curarum lenimen pressit ab Uva;
Vel qui Niliaca monstravit arundine pictos
Consociare sonos, oculisque exponere Voces;
Humanam sortem minus extulit; utpote pauca
Respiciens miseræ solummodo commoda vitæ.
Jam vero Superis convivæ admittimur, alti
Jura poli tractare licet, jamque abdita coecæ
Claustra patent Terræ rerumque immobilis ordo,
Et quæ præteriti latuerunt sæcula mundi.
Talia monstrantem mecum celebrate Camænis,
Vos qui coelesti gaudetis nectare vesci,
_NEWTONVM_ clausi reserantem scrinia Veri,
_NEWTONVM_ Musis charum, cui pectore puro
Phoebus adest, totoque incessit Numine mentem:
Nec fas est propius Mortali attingere Divos.
_EDM. HALLEY._
* * * * *
PHILOSOPHIÆ
NATURALIS
Principia
MATHEMATICA.
* * * * *
Definitiones.
* * * * *
Def. I.
_Quantitas Materiæ est mensura ejusdem orta ex illius Densitate &
Magnitudine conjunctim._
Aer duplo densior in duplo spatio quadruplus est. Idem intellige de Nive et
Pulveribus per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est
ratio corporum omnium, quæ per causas quascunq; diversimode condensantur.
Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere pervadentis, hic
nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel Massæ
in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea per corporis cujusq; pondus.
Nam ponderi proportionalem esse reperi per experimenta pendulorum
accuratissime instituta, uti posthac docebitur.
Def. II.
_Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate
Materiæ conjunctim._
Motus totius est summa motuum in partibus singulis, adeoq; in corpore duplo
majore æquali cum Velocitate duplus est, et dupla cum Velocitate
quadruplus.
Def. III.
_Materiæ vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquodq;, quantum
in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter
in directum._
Hæc semper proportionalis est suo corpori, neq; differt quicquam ab inertia
Massæ, nisi in modo concipiendi. Per inertiam materiæ fit ut corpus omne de
statu suo vel quiescendi vel movendi difficulter deturbetur. Unde etiam vis
insita nomine significantissimo vis inertiæ dici possit. Exercet vero
corpus hanc vim solummodo in mutatione status sui per vim aliam in se
impressam facta, estq; exercitium ejus sub diverso respectu et Resistentia
et Impetus: Resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum
reluctatur vi impressæ; Impetus quatenus corpus idem, vi resistentis
obstaculi difficulter cedendo, conatur statum ejus mutare. Vulgus
Resistentiam quiescentibus et Impetum moventibus tribuit; sed motus et
quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab invicem, neq;
semper vere quiescunt quæ vulgo tanquam quiescentia spectantur.
Def. IV.
_Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel
quiescendi vel movendi uniformiter in directum._
Consistit hæc vis in actione sola, neq; post actionem permanet in corpore.
Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam vim inertiæ. Est autem
vis impressa diversarum originum, ut ex ictu, ex pressione, ex vi
centripeta.
Def. V.
_Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum
trahitur, impellitur, vel utcunq; tendit._
Hujus generis est gravitas, qua corpus tendit ad centrum Terræ: Vis
magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa, quæcunq; sit,
qua Planetæ perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis, et in lineis curvis
revolvi coguntur. Est autem vis centripetæ quantitas trium generum,
absoluta, acceleratrix et motrix.
Def. VI.
_Vis centripetæ quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor pro
efficacia causæ eam propagantis a centro per regiones in circuitu._
Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio.
Def. VII.
_Vis centripetæ quantitas acceleratrix est ipsius mensura Velocitati
proportionalis, quam dato tempore generat._
Uti Virtus Magnetis ejusdem major in minori Distantia, minor in majori: vel
vis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus præaltorum montium
(ut experimento pendulorum constat) atq; adhuc minor (ut posthac patebit)
in majoribus distantiis a Terra; in æqualibus autem distantiis eadem undiq;
propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva)
sublata Aeris resistentia, æqualiter accelerat.
Def. VIII.
_Vis centripetæ quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui,
quem dato tempore generat._
Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore; inq; corpore eodem
majus prope terram, minus in cælis. Hæc vis est corporis totius
centripetentia seu propensio in centrum & (ut ita dicam) pondus, &
innotescit semper per vim ipsi contrariam & æqualem, qua descensus corporis
impediri potest.
Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires absolutas,
acceleratrices & motrices, & distinctionis gratia referre ad corpora, ad
corporum loca, & ad centrum virium: Nimirum vim motricem ad corpus, tanquam
conatum & propensionem totius in centrum, ex propensionibus omnium partium
compositum; & vim acceleratricem ad locum corporis, tanquam efficaciam
quandam, de centro per loca singula in circuitu diffusam, ad movenda
corpora quæ in ipsis sunt; vim autem absolutam ad centrum, tanquam causa
aliqua præditum, sine qua vires motrices non propagantur per regiones in
circuitu; sive causa illa sit corpus aliquod centrale (quale est Magnes in
centro vis Magneticæ vel Terra in centro vis gravitantis) sive alia aliqua
quæ non apparet. Mathematicus saltem est hic conceptus. Nam virium causas &
sedes physicas jam non expendo.
Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. Oritur
enim quantitas motus ex celeritate ducta in quantitatem Materiæ, & vis
motrix ex vi acceleratrice ducta in quantitatem ejusdem materiæ. Nam summa
actionum vis acceleratricis in singulas corporis particulas est vis motrix
totius. Unde juxta Superficiem Terræ, ubi gravitas acceleratrix seu vis
gravitans in corporibus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est
ut corpus: at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit
minor, pondus pariter minuetur, eritq; semper ut corpus in gravitatem
acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo
minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel
sextuplo minus.
Porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices & motrices
nomino. Voces autem attractionis, impulsus vel propensionis cujuscunq; in
centrum, indifferenter et pro se mutuo promiscue usurpo, has vires non
physice sed Mathematice tantum considerando. Unde caveat lector ne per
hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem
physicam alicubi definire, vel centris (quæ sunt puncta Mathematica) vires
vere et physice tribuere, si forte aut centra trahere, aut vires centrorum
esse dixero.
_Scholium._
Hactenus voces minus notas, quo in sensu in sequentibus accipiendæ sunt,
explicare visum est. Nam tempus, spatium, locum et motum ut omnibus
notissima non definio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hasce non aliter
quam ex relatione ad sensibilia concipit. Et inde oriuntur præjudicia
quædam, quibus tollendis convenit easdem in absolutas & relativas, veras &
apparentes, Mathematicas et vulgares distingui.
I. Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua absq;
relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit, alioq; nomine dicitur
Duratio; relativum apparens & vulgare est sensibilis & externa quævis
Durationis per motum mensura, (seu accurata seu inæquabilis) qua vulgus
vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.
II. Spatium absolutum natura sua absq; relatione ad externum quodvis semper
manet similare & immobile; relativum est spatii hujus mensura seu dimensio
quælibet mobilis, quæ a sensibus nostris per situm suum ad corpora
definitur, & a vulgo pro spatio immobili usurpatur: uti dimensio spatii
subterranei, aerei vel cælestis definita per situm suum ad Terram. Idem
sunt spatium absolutum & relativum, specie & magnitudine, sed non permanent
idem semper numero. Nam si Terra, verbi gratia, movetur, spatium Aeris
nostri quod relative & respectu Terræ semper manet idem, nunc erit una pars
spatii absoluti in quam Aer transit, nunc alia pars ejus, & sic absolute
mutabitur perpetuo.
III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, estq; pro ratione spatii
vel absolutus vel relativus. Partem dico spatii, non situm corporis vel
superficiem ambientem. Nam solidorum æqualium æquales semper sunt loci;
Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut plurimum inæquales sunt;
situs vero proprie loquendo quantitatem non habent, neq; tam sunt loca quam
affectiones locorum. Motus totius idem est cum summa motuum partium, hoc
est, translatio totius de ipsius loco eadem cum summa translationum partium
de locis suis, adeoq; locus totius idem cum summa locorum partium, &
propterea internus & in corpore toto.
IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum
absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi quæ velis passis
fertur, relativus corporis locus est navis regio illa in qua corpus
versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quæq; adeo
movetur una cum Navi; & Quies relativa est permansio corporis in eadem illa
navis regione vel parte cavitatis. At Quies vera est permansio corporis in
eadem parte spatii illius immoti in qua Navis ipsa una cum cavitate sua &
contentis universis movetur. Unde si Terra vere quiescit, corpus quod
relative quiescit in Navi, movebitur vere et absolute ea cum Velocitate qua
Navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur verus et absolutus
corporis motus partim ex Terræ motu vero in spatio immoto, partim ex Navis
motu relativo in Terra; et si corpus etiam movetur relative in Navi,
orietur verus ejus motus partim ex vero motu Terræ in spatio immoto, partim
ex relativis motibus tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his
motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut si Terræ
pars illa ubi Navis versatur moveatur vere in Orientem, cum Velocitate
partium 10010, et velis ventoq; feratur Navis in Occidentem cum Velocitate
partium decem, Nauta autem ambulet in Navi Orientem versus cum Velocitatis
parte una, movebitur Nauta vere et absolute in spatio immoto cum
Velocitatis partibus 10001 in Orientem, et relative in Terra Occidentem
versus cum Velocitatis partibus novem.
Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per Æquationem
Temporis vulgi. Inæquales enim sunt dies Naturales, qui vulgo tanquam
æquales pro Mensura Temporis habentur. Hanc inæqualitatem corrigunt
Astronomi ut ex veriore Tempore mensurent motus cælestes. Possibile est ut
nullus sit motus æquabilis quo Tempus accurate mensuretur. Accelerari &
retardari possunt motus omnes, sed fluxus Temporis absoluti mutari nequit.
Eadem est duratio seu perseverantia existentiæ rerum, sive motus sint
celeres, sive tardi, sive nulli; proinde hæc a mensuris suis sensibilibus
merito distinguitur, & ex ijsdem colligitur per Æquationem Astronomicam.
Hujus autem æquationis in determinandis Phænomenis necessitas, tum per
experimentum Horologii oscillatorii, tum etiam per Eclipses Satellitum
Jovis evincitur.
Ut partium Temporis ordo est immutabilis, sic etiam ordo partium Spatii.
Moveantur hæ de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de seipsis. Nam
Tempora & Spatia sunt sui ipsorum & rerum omnium quasi loca. In Tempore
quoad ordinem successionis; in Spatio quoad ordinem situs locantur
universa. De illorum Essentia est ut sint loca, & loca primaria moveri
absurdum est. Hæc sunt igitur absoluta loca, & solæ translationes de his
locis sunt absoluti motus.
Verum quoniam hæ spatii partes videri nequeunt, & ab invicem per sensus
nostros distingui, earum vice adhibemus mensuras sensibiles. Ex
positionibus enim & distantiis rerum a corpore aliquo, quod spectamus ut
immobile, definimus loca universa; deinde etiam & omnes motus æstimamus cum
respectu ad prædicta loca, quatenus corpora ab iisdem transferri
concipimus. Sic vice locorum & motuum absolutorum relativis utimur, nec
incommode in rebus humanis: in Philosophicis autem abstrahendum est a
sensibus. Fieri etenim potest ut nullum revera quiescat corpus, ad quod
loca motusq; referantur.
Distinguuntur autem Quies & Motus absoluti & relativi ab invicem per eorum
proprietates, causas & effectus. Quietis proprietas est, quod corpora vere
quiescentia quiescunt inter se. Ideoq; cum possibile sit ut corpus aliquod
in regionibus fixarum, aut longe ultra, quiescat absolute; sciri autem non
possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris, utrum horum
aliquod ad longinquum illud datam positionem servet, quies vera ex horum
situ inter se definiri nequit.
Motus proprietas est, quod partes quæ datas servant positiones ad tota,
participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur
recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu
partium singularum. Igitur motis corporibus ambientibus, moventur quæ in
ambientibus relative quiescunt. Et propterea motus verus et absolutus
definiri nequit per translationem e vicinia corporum, quæ tanquam
quiescentia spectantur. Debent corpora externa non solum tanquam
quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa omnia,
præter translationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium
motus veros, et sublata illa translatione non vere quiescent, sed tanquam
quiescentia solummodo spectabuntur; sunt enim ambientia ad inclusa ut
totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto
autem cortice, nucleus etiam, absq; translatione de vicinia corticis, ceu
pars totius, movetur.
Præcedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una locatum,
adeoq; corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci sui motum.
Igitur motus omnes, qui de locis motis fiunt, sunt partes solummodo motuum
integrorum et absolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu
corporis de loco suo primo, et motu loci hujus de loco suo, et sic
deinceps, usq; dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautæ supra
memorato. Unde motus integri et absoluti non nisi per loca immota definiri
possunt, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia supra
retuli: Loca autem immota non sunt, nisi quæ omnia ab infinito in infinitum
datas servant positiones ad invicem, atq; adeo semper manent immota,
spatiumq; constituunt quod immobile appello.
Causæ, quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires
in corpora impressæ ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec
mutatur nisi per vires in ipsum corpus motum impressas: at motus relativus
generari et mutari potest absq; viribus impressis in hoc corpus. Sufficit
enim ut imprimantur in alia solum corpora ad quæ fit relatio, ut ijs
cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus
consistit. Rursus motus verus a viribus in corpus motum impressis semper
mutatur, at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si
eædem vires in alia etiam corpora, ad quæ fit relatio, sic imprimantur ut
situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus relativus
consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus ubi verus
conservatur, et conservari ubi verus mutatur; et propterea motus verus in
ejusmodi relationibus minime consistit.
Effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem, sunt
vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude
relativo hæ vires nullæ sunt, in vero autem et absoluto majores vel minores
pro quantitate motus. Si pendeat situla a filo prælongo, agaturq; perpetuo
in orbem donec filum a contorsione admodum rigescat, dein impleatur aqua,
et una cum aqua quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in
orbem, et filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu: superficies
aquæ sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis, at postquam, vi
in aquam paulatim impressa, effecit vas, ut hæc quoq; sensibiliter revolvi
incipiat, recedet ipsa paulatim e medio, ascendetq; ad latera vasis,
figuram concavam induens, (ut ipse expertus sum) et incitatiore semper motu
ascendet magis & magis, donec revolutiones in æqualibus cum vase temporibus
peragendo, quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum
recedendi ab axe motus, & per talem conatum & innotescit & mensuratur motus
aquæ circularis verus & absolutus, motuiq; relativo hic omnino contrarius.
Initio ubi maximus erat aquæ motus relativus in vase, motus ille nullum
excitabat conatum recedendi ab axe: Aqua non petebat circumferentiam
ascendendo ad latera vasis, sed plana manebat, & propterea motus illius
circularis verus nondum inceperat. Postea vero ut aquæ motus relativus
decrevit, ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe,
atq; hic conatus monstrabat motum illius circularem verum perpetuo
crescentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase relative.
Igitur conatus iste non pendet a translatione aquæ respectu corporum
ambientium, & propterea motus circularis verus per tales translationes
definiri nequit. Unicus est corporis cujusq; revolventis motus vere
circularis, conatui unico tanquam proprio & adæquato effectui respondens;
motus autem relativi pro varijs relationibus ad externa innumeri sunt, &
relationum instar, effectibus veris omnino destituuntur, nisi quatenus de
vero illo & unico motu participant. Unde & in Systemate eorum qui Cælos
nostros infra Cælos fixarum in orbem revolvi volunt, & Planetas secum
deferre; Planetæ & singulæ Cælorum partes, qui relative quidem in Cælis
suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant enim positiones suas ad
invicem (secus quam fit in vere quiescentibus) unaq; cum cælis delati
participant eorum motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus
recedere conantur.
Igitur quantitates relativæ non sunt eæ ipsæ quantitates quarum nomina præ
se ferunt, sed earum mensuræ illæ sensibiles (veræ an errantes) quibus
vulgus loco mensuratarum utitur. At si ex usu definiendæ sunt verborum
significationes; per nomina illa Temporis, Spatij, Loci & Motus proprie
intelligendæ erunt hæ mensuræ; & sermo erit insolens & pure Mathematicus si
quantitates mensuratæ hic subintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris
literis qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpretantur.
Neq; minus contaminant Mathesin & Philosophiam qui quantitates veras cum
ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris confundunt.
Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab apparentibus actu
discriminare, difficillimum est; propterea quod partes spatij illius
immobilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt in sensus. Causa
tamen non est prorsus desperata. Nam suppetunt argumenta partim ex motibus
apparentibus, qui sunt motuum verorum differentiæ, partim ex viribus quæ
sunt motuum verorum causæ & effectus. Ut si globi duo ad datam ab invicem
distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune
gravitatis centrum; innotesceret ex tensione fili conatus globorum
recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari posset.
Deinde si vires quælibet æquales in alternas globorum facies ad motum
circularem augendum vel minuendum simul imprimerentur, innotesceret ex
aucta vel diminuta fili tensione augmentum vel decrementum motus; & inde
tandem inveniri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut
motus maxime augeretur, id est facies posticæ, sive quæ in motu circulari
sequuntur. Cognitis autem faciebus quæ sequuntur & faciebus oppositis quæ
præcedunt, cognosceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri posset
& quantitas & determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis immenso,
ubi nihil extaret externum & sensibile, quocum globi conferri possent. Si
jam constituerentur in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se
positionem servantia, qualia sunt stellæ fixæ in regionibus nostris: sciri
quidem non posset ex relativa globorum translatione inter corpora, utrum
his an illis tribuendus esset motus. At si attenderetur ad filum &
inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse quam motus globorum requireret;
concludere liceret motum esse globorum, & tum demum ex translatione
globorum inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem
veros ex eorum causis, effectibus & apparentibus differentijs colligere, &
contra, ex motibus seu veris seu apparentibus, eorum causas & effectus,
docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem Tractatum sequentem
composui.
* * * * *
AXIOMATA
SIVE
LEGES MOTUS
* * * * *
Lex. I.
_Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi
uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur
statum illum mutare._
Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris
retardantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes
cohærendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari
nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum
corpora motus suos & progressivos & circulares in spatiis minus
resistentibus factos conservant diutius.
Lex. II.
_Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri
secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur._
Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum
generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa fuerit.
Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice
determinatur, si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti
additur, vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo
secundum utriusq; determinationem componitur.
Lex. III.
_Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum
duorum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias
dirigi._
Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur.
Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus
lapidem funi allegatum trahit, retrahetur etiam & equus æqualiter in
lapidem: nam funis utrinq; distentus eodem relaxandi se conatu urgebit
Equum versus lapidem, ac lapidem versus equum, tantumq; impediet progressum
unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus
aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunq; mutaverit, idem quoque
vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius
(ob æqualitatem pressionis mutuæ) subibit. His actionibus æquales fiunt
mutationes non velocitatum sed motuum, (scilicet in corporibus non aliunde
impeditis:) Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factæ,
quia motus æqualiter mutantur, sunt corporibus reciproce proportionales.
Corol. I.
[Illustration]
_Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tempore
describere, quo latera separatis._
Si corpus dato tempore, vi sola M, ferretur ab A ad B, & vi sola N, ab A ad
C, compleatur parallelogrammum ABDC, & vi utraq; feretur id eodem tempore
ab A ad D. Nam quoniam vis N agit secundum lineam AC ipsi BD parallelam,
hæc vis nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam BD a vi altera
genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BD sive vis N
imprimatur, sive non, atq; adeo in fine illius temporis reperietur alicubi
in linea illa BD. Eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur
alicubi in linea CD, & idcirco in utriusq; lineæ concursu D reperiri
necesse est.
Corol. II.
_Et hinc patet compositio vis directæ AD ex viribus quibusvis obliquis
AB & BD, & vicissim resolutio vis cujusvis directæ AD in obliquas
quascunq; AB & BD. Quæ quidem Compositio & resolutio abunde confirmatur
ex Mechanica._
[Illustration]
Ut si de rotæ alicujus centro O exeuntes radij inæquales OM, ON filis MA,
NP sustineant pondera A & P, & quærantur vires ponderum ad movendam rotam:
per centrum O agatur recta KOL filis perpendiculariter occurrens in K & L,
centroq; O & intervallorum OK, OL majore OL describatur circulus occurrens
filo MA in D: & actæ rectæ OD parallela sit AC & perpendicularis DC.
Quoniam nihil refert utrum filorum puncta K, L, D affixa sint vel non
affixa ad planum rotæ, pondera idem valebunt ac si suspenderentur a punctis
K & L vel D & L. Ponderis autem A exponatur vis tota per lineam AD, & hæc
resolvetur in vires AC, CD, quarum AC trahendo radium OD directe a centro
nihil valet ad movendam rotam; vis autem altera DC, trahendo radium DO
perpendiculariter, idem valet ac si perpendiculariter traheret radium OL
ipsi OD æqualem; hoc est idem atq; pondus P, quod sit ad pondus A ut vis DC
ad vim DA, id est (ob similia triangula ADC, DOK,) ut OK ad OD seu OL.
Pondera igitur A & P, quæ sunt reciproce ut radii in directum positi OK &
OL, idem pollebunt & sic consistent in æquilibrio: (quæ est proprietas
notissima Libræ, Vectis & Axis in Peritrochio:) sin pondus alterutrum sit
majus quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major.
Quod si pondus p ponderi P æquale partim suspendatur filo Np, partim
incumbat plano obliquo pG: agantur pH, NH, prior horizonti, posterior plano
pG perpendicularis; & si vis ponderis p deorsum tendens, exponatur per
lineam pH, resolvi potest hæc in vires pN, HN. Si filo pN perpendiculare
esset planum aliquod pQ secans planum alterum pG in linea ad horizontem
parallela; & pondus p his planis pQ, pG solummodo incumberet; urgeret illud
hæc plana viribus pN, HN perpendiculariter, nimirum planum pQ vi pN &
planum pG vi HN. Ideoque si tollatur planum pQ ut pondus tendat filum,
quoniam filum sustinendo pondus, jam vicem præstat plani sublati, tendetur
illud eadem vi pN, qua planum antea urgebatur. Unde tensio fili hujus
obliqui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis PN, ut pN ad pH.
Ideoq; si pondus p sit ad pondus A in ratione quæ componitur ex ratione
reciproca minimarum distantiarum filorum suorum AM, pN a centro rotæ, &
ratione directa pH ad pN; pondera idem valebunt ad rotam movendam, atq;
adeo se mutuo sustinebunt, ut quilibet experiri potest.
Pondus autem p planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei
inter corporis fissi facies internas: & inde vires cunei & mallei
innotescunt: utpote cum vis qua pondus p urget planum pQ sit ad vim, qua
idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum lineam pH in
plano, ut pN ad pH; atq; ad vim qua urget planum alterum pG ut pN ad NH.
Sed & vis Cochleæ per similem virium divisionem colligitur; quippe quæ
cuneus est a vecte impulsus. Usus igitur Corollarij hujus latissime patet,
& late patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam dictis Mechanica
tota ab Authoribus diversimode demonstrata. Ex hisce enim facile derivantur
vires Machinarum, quæ ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vectibus, radijs
volubilibus, nervis tensis & ponderibus directe vel oblique ascendentibus,
cæterisq; potentijs Mechanicis componi solent, ut & vires Nervorum ad
animalium ossa movenda.
Corol. III.
_Quantitas motus quæ colligitur capiendo summam motuum factorum ad
eandem partem, & differentiam factorum ad contrarias, non mutatur ab
actione corporum inter se._
Etenim actio eiq; contraria reactio æquales sunt per Legem 3, adeoq; per
legem 2, æquales in motibus efficiunt mutationes versus contrarias partes.
Ergo si motus fiunt ad eandem partem, quicquid additur motui corporis
fugientis subducetur motui corporis insequentis sic, ut summa maneat eadem
quæ prius. Sin corpora obviam eant, æqualis erit subductio de motu
utriusq;, adeoq; differentia motuum factorum in contrarias partes manebit
eadem.
Ut si corpus sphæricum A sit triplo majus corpore sphærico B, habeatq; duas
velocitatis partes, et B sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus
decem, adeoq; motus ipsius A sit ad motum ipsius B ut sex ad decem;
ponantur motus illis esse partium sex & decem, & summa erit partium
sexdecim. In corporum igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes
tres vel quatuor vel quinq; corpus B amittet partes totidem, adeoq; perget
corpus A post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim; & B cum
partibus septem vel sex vel quinq; existente semper summa partium sexdecim
ut prius. Sin corpus A lucretur partes novem vel decem vel undecim vel
duodecim, adeoq; progrediatur post concursum cum partibus quindecim vel
sexdecim vel septendecim vel octodecim; corpus B amittendo, tot partes quot
A lucratur, vel progredietur cum una parte, amissis partibus novem, vel
quiescet amisso motu suo progressivo partium decem, vel regredietur cum una
parte amisso motu suo & (ut ita dicam) una parte amplius, vel regredietur
cum partibus duabus ob detractum motum progressivum partium duodecim. Atq;
ita summæ motuum conspirantium 15 + 1 vel 16 + 0, differentiæ contrariorum
17 - 1 & 18 - 2 semper erunt partium sexdecim ut ante concursum &
reflexionem. Cognitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem
pergent, invenietur cujusq; velocitas ponendo eam esse ad velocitatem ante
reflexionem ut motus post ad motum ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis A
motus erat partium sex ante reflexionem; partium octodecim postea, &
velocitas partium duarum ante reflexionem; invenietur ejus velocitas
partium sex post reflexionem, dicendo, ut motus partes sex ante reflexionem
ad motus partes octodecim postea, ita velocitatis partes duæ ante
reflexionem ad velocitatis partes sex postea.
Quod si corpora vel non Sphærica vel diversis in rectis moventia incidant
in se mutuo oblique, & requirantur eorum motus post reflexionem,
cognoscendus est situs plani a quo corpora concurrentia tanguntur in puncto
concursus; dein corporis utriusq; motus (per Corol. 2.) distinguendus est
in duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem parallelum: motus
autem paralleli, propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam
huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem atq;
antea, & motibus perpendicularibus mutationes æquales in partes contrarias
tribuendæ sunt sic, ut summa conspirantium & differentia contrariorum
maneat eadem quæ prius. Ex hujusmodi reflexionibus oriri etiam solent motus
circulares corporum circa centra propria. Sed hos casus in sequentibus non
considero, & nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare.
Corol. IIII.
_Commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non mutat
statum suum vel motus vel quietis, & propterea corporum omnium in se
mutuo agentium (exclusis actionibus & impedimentis externis) commune
centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum._
Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis &
distantia eorum dividatur in ratione data, punctum dividens vel quiescet
vel progredietur uniformiter in linea recta. Hoc postea in Lemmate xxiii
demonstratur in plano, & eadem ratione demonstrari potest in loco solido.
Ergo si corpora quotcunq; moventur uniformiter in lineis rectis, commune
centrum gravitatis duorum quorumvis, vel quiescit vel progreditur
uniformiter in linea recta, propterea quod linea horum corporum centra in
rectis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi
in ratione data: similiter & commune centrum horum duorum & tertii cujusvis
vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab
eo dividitur distantia centri communis corporum duorum & centri corporis
tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum trium & quarti
cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea
quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium & centrum quarti
in data ratione, & sic in infinitum. Igitur in systemate corporum quæ
actionibus in se invicem, alijsq; omnibus in se extrinsecus impressis,
omnino vacant, adeoq; moventur singula uniformiter in rectis singulis,
commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in
directum.
Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, cum distantiæ
centrorum utriusq; a communi gravitatis centro sint reciproce ut corpora,
erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum illud vel
ab eodem recedendi, æquales inter se. Proinde centrum illud a motuum
æqualibus mutationibus in partes contrarias factis, atq; adeo ab actionibus
horum corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutationem
patitur in statu suo quoad motum vel quietem. In systemate autem corporum
plurium, quoniam duorum quorumvis in se mutuo agentium commune gravitatis
centrum ob actionem illam nullatenus mutat statum suum; & reliquorum,
quibuscum actio illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde
patitur; distantia autem horum duorum centrorum dividitur, a communi
corporum omnium centro, in partes summis totalibus corporum, quorum sunt
centra, reciproce proportionales, adeoq; centris illis duobus statum suum
movendi vel quiescendi servantibus, commune omnium centrum servat etiam
statum suum; manifestum est quod commune illud omnium centrum, ob actiones
binorum corporum inter se, nunquam mutat statum suum quoad motum & quietem.
In tali autem systemate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina
sunt corpora, vel ab actionibus inter bina compositæ, & propterea communi
omnium centro mutationem in statu motus ejus vel Quietis nunquam inducunt.
Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se invicem, vel quiescit,
vel in recta aliqua progreditur uniformiter, perget idem, non obstantibus
corporum actionibus inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi
uniformiter in directum, nisi a viribus in systema extrinsecus impressis
deturbetur de hoc statu. Est igitur systematis corporum plurium Lex eadem
quæ corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis.
Motus enim progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum ex
motu centri gravitatis æstimari semper debet.
Corol. V.
_Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive
spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum
absq; motu circulari._
Nam differentiæ motuum tendentium ad eandem partem, & summæ tendentium ad
contrarias, eadem sunt sub initio in utroq; casu (ex hypothesi) & ex his
summis vel differentiis oriuntur congressus & impetus quibus corpora se
mutuo feriunt. Ergo per Legem 2 æquales erunt congressuum effectus in
utroq; casu, & propterea manebunt motus inter se in uno casu æquales
motibus inter se in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus
omnes eodem modo se habent in Navi, sive ea quiescat, sive moveatur
uniformiter in directum.
Corol. VI.
_Si corpora moveantur quomodocunq; inter se & a viribus
acceleratricibus æqualibus secundum lineas parallelas urgeantur;
pergent omnia eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent
incitata._
Nam vires illæ æqualiter (pro quantitatibus movendorum corporum) & secundum
lineas parallelas agendo, corpora omnia æqualiter (quoad velocitatem)
movebunt (per Legem 2.) adeoq; nunquam mutabunt positiones & motus eorum
inter se.
_Scholium_
[Illustration]
Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experientia multiplici
confirmata. Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenit
_Galilæus_ descensum gravium esse in duplicata ratione temporis, & motum
projectilium fieri in Parabola, conspirante experientia, nisi quatenus
motus illi per aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Ab ijsdem
Legibus & Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium
Pendulorum, suffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem
& Lege tertia _D. Christopherus Wrennus_ Eques auratus, _Johannes Wallisius
S.T.D._ & _D. Christianus Hugenius_, hujus ætatis Geometrarum facile
Principes, regulas congressuum & reflexionum duorum corporum seorsim
adinvenerunt, & eodem fere tempore cum _Societate Regia_ communicarunt,
inter se (quoad has leges) omnino conspirantes; Et primus quidem _D.
Wallisius_ dein _D. Wrennus_ & _D. Hugenius_ inventum prodidit. Sed &
veritas comprobata est a _D. Wrenno_ coram _Regia Societate_ per
experimentum Pendulorum, quod etiam _Clarissimus Mariottus_ Libro integro
exponere mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad
amussim congruat, habenda est ratio tum resistentiæ aeris, tum etiam vis
Elasticæ concurrentium corporum. Pendeant corpora A, B filis parallelis AC,
BD a centris C, D. His centris & intervallis describantur semicirculi EAF,
GBH radijs CA, DB bisecti. Trahatur corpus A ad arcus EAF punctum quodvis
R, & (subducto corpore B) demittatur inde, redeatq; post unam oscillationem
ad punctum V. Est RV retardatio ex resistentia aeris. Hujus RV fiat ST pars
quarta sita in medio, & hæc exhibebit retardationem in descensu ab S ad A
quam proxime. Restituatur corpus B in locum suum. Cadat corpus A de puncto
S, & velocitas ejus in loco reflexionis A, absq; errore sensibili, tanta
erit ac si in vacuo cecidisset de loco T. Exponatur igitur hæc velocitas
per chordam arcus TA. Nam velocitatem Penduli in puncto infimo esse ut
chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima.
Post reflexionem perveniat corpus A ad locum s, & corpus B ad locum k.
Tollatur corpus B & inveniatur locus v, a quo si corpus A demittatur & post
unam oscillationem redeat ad locum r, sit st pars quarta ipsius rv sita in
medio, & per chordam arcus tA exponatur velocitas quam corpus A proxime
post reflexionem habuit in loco A. Nam t erit locus ille verus & correctus
ad quem corpus A, sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili
methodo corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, & inveniendus
locus l, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto
experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem
ducendum erit corpus A in chordam arcus TA (quæ velocitatem ejus exhibet)
ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem, deinde in
chordam arcus tA ut habeatur motus ejus in loco A proxime post reflexionem.
Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus Bl, ut habeatur motus ejus
proxime post reflexionem. Et simili methodo ubi corpora duo simul
demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utriusq; tam ante,
quam post reflexionem; & tum demum conferendi sunt motus inter se &
colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem
tentando, idq; in corporibus tam inæqualibus quam æqualibus, & faciendo ut
corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim vel sexdecim
concurrerent, reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris, ubi
corpora sibi mutuo directe occurrebant quod in partes contrarias mutatio
motus erat corpori utriq; illata, atq; adeo quod actio & reactio semper
erant æquales. Ut si corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus
motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus,
corpus B resiliebat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, A
cum duodecim partibus & B cum sex & redibat A cum duabus, redibat B cum
octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque. De motu ipsius A
subducantur partes duodecim & restabit nihil; subducantur aliæ partes duæ &
fiet motus duarum partium in plagam contrariam. & sic de motu corporis B
partium sex subducendo partes quatuordecim, fiunt partes octo in plagam
contrariam. Quod si corpora ibant ad eandem plagam, A velocius cum partibus
quatuordecim & B tardius cum partibus quinq; & post reflexionem pergebat A
cum quinq; partibus, pergebat B cum quatuordecim, facta translatione
partium novem de A in B. Et sic in reliquis. A congressu & collisione
corporum nunquam mutabatur quantitas motus quæ ex summa motuum
conspirantium & differentia contrariorum colligebatur. Namq; errorem digiti
unius & alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis
accurate. Difficile erat tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se
mutuo impingerent in loco infimo AB, tum loca s, k, notare ad quæ corpora
ascendebant post concursum. Sed & in ipsis pilis inæqualis partium
densitas, & textura aliis de causis irregularis, errores inducebant.
Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc
experimentum præsupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem
perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus
naturalibus; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus
mollibus æque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam
pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda
est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate
vis Elasticæ. In Theoria _Wrenni_ & _Hugenij_ corpora absolute dura redeunt
ab invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte
Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum
vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex
congressu læduntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,)
certa ac determinata sit (quantum sentio) faciatq; corpora redire ab
invicem cum velocitate relativa quæ sit ad relativam velocitatem concursus
in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter
constricta sic tentavi. Primum demittendo Pendula & mensurando reflexionem,
inveni quantitatem vis Elasticæ; deinde per hanc vim determinavi
reflexiones in aliis casibus concursuum, & respondebant experimenta.
Redibant semper pilæ ab invicem cum velocitate relativa, quæ esset ad
velocitatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum
velocitate redibant pilæ ex chalybe: aliæ ex subere cum paulo minore. In
vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. Atq; hoc pacto Lex tertia
quoad ictus & reflexiones per Theoriam comprobata est, quæ cum experientia
plane congruit.
In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus quibusvis A,
B se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus
eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur versus corpus
alterum B, quam illud alterum B in prius A, obstaculum magis urgebitur
pressione corporis A quam pressione corporis B; proindeq; non manebit in
æquilibrio. Prævalebit pressio fortior, facietq; systema corporum duorum &
obstaculi moveri in directum in partes versus B, motuq; in spatiis liberis
semper accelerato abire in infinitum. Quod est absurdum & Legi primæ
contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in statu suo
quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proindeq; corpora æqualiter
urgebunt obstaculum, & idcirco æqualiter trahentur in invicem. Tentavi hoc
in Magnete & ferro. Si hæc in vasculis propriis sese contingentibus seorsim
posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum propellet alterum, sed
æqualitate attractionis utrinq; sustinebunt conatus in se mutuos, ac tandem
in æquilibrio constituta quiescent.
Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum velocitates sunt
reciproce ut vires insitæ: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia
idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates
secundum determinationem virium æstimatæ, sunt reciproce ut vires. Sic
pondera æquipollent ad movenda brachia Libræ, quæ oscillante Libra, sunt
reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum: hoc est pondera, si recta
ascendunt & descendunt, æquipollent, quæ sunt reciproce ut punctorum a
quibus suspenduntur distantiæ ab axe Libræ; sin planis obliquis aliisve
admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique, æquipollent
quæ sunt ut ascensus & descensus quatenus facti secundum perpendiculum: id
adeo ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu
Polyspasto vis manus funem directe trahentis, quæ sit ad pondus vel directe
vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem
manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & similibus
instrumentis, quæ ex rotulis commissus constructa sunt, vires contrariæ ad
motum rotularum promovendum & impediendum si sunt reciproce ut velocitates
partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochleæ ad
premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis
velocitas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem
progressivam Cochleæ versus corpus pressum. Vires quibus cuneus urget
partes duas ligni fissi est ad vim mallei in cuneum, ut progressus cunei
secundum determinationem vis a malleo in ipsum impressæ, ad velocitatem qua
partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares.
Et par est ratio Machinarum omnium.
Harum efficacia & usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem
augeamus vim, & contra: Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere
Problema; _Datum pondus data vi movendi_, aliamve datam resistentiam vi
data superandi. Nam si Machinæ ita formentur ut velocitates Agentis &
Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, &
majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit
velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, quæ tam ex
contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum &
ab invicem separandorum cohæsione & elevandorum ponderibus oriri solet;
superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi
proportionalem, partim in partibus Machinæ, partim in corpore resistente
producet. Cæterum Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui
tantum ostendere quam late pateat, quamq; certa sit Lex tertia motus. Nam
si æstimetur Agentis actio ex ejus vi & velocitate conjunctim; &
Resistentis reactio ex ejus partium singularum velocitatibus & viribus
resistendi ab earum attritione, cohæsione, pondere & acceleratione
oriundis; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem
semper æquales. Et quatenus actio propagatur per instrumentum & ultimo
imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio
determinationi reactionis semper erit contraria.
* * * * *
DE MOTU CORPORUM
* * * * *
Liber PRIMUS
* * * * *
SECT. I.
_De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia
demonstrantur._
* * * * *
LEMMA I.
_Quantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem dato
tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere
possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo æquales._
Si negas, sit earum ultima differentia D. Ergo nequeunt propius ad
æqualitatem accedere quam pro data differentia D: contra hypothesin.
Lemma II.
[Illustration]
_Si in figura quavis AacE rectis Aa, AE, & curva acE comprehensa,
inscribantur parallelogramma quotcunq; Ab, Bc, Cd, &c. sub basibus AB,
BC, CD, &c. æqualibus, & lateribus Bb, Cc, Dd, &c. figuræ lateri Aa
parallelis contenta; & compleantur parallelogramma aKbl, bLcm, cMdn,
&c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur, & numerus augeatur
in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas habent ad se invicem
figura inscripta AKbLcMdD, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea
AabcdE, sunt rationes æqualitatis._
Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa
parallelogrammorum Kl + Lm + Mn + Do, hoc est (ob æquales omnium bases)
rectangulum sub unius basi Kb & altitudinum summa Aa, id est rectangulum
ABla. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur,
sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circumscripta
& multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales.
_Q. E. D._
Lemma III.
_Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubi parallelogrammorum
latitudines AB, BC, CD, _&c._ sunt inæquales, & omnes minuuntur in
infinitum._
Sit enim AF æqualis latitudini maximæ & compleatur parallelogrammum FAaf.
Hoc erit majus quam differentia figuræ inscriptæ & figuræ circumscripta, at
latitudine sua AF in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis
rectangulum.
_Corol. 1._ Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit
omni ex parte cum figura curvilinea.
_Corol. 2._ Et multo magis figura rectilinea, quæ chordis evanescentium
arcuum ab, bc, cd, _&c._ comprehenditur, coincidit ultimo cum figura
curvilinea.
_Corol. 3._ Ut & figura rectilinea quæ tangentibus eorundem arcuum
circumscribitur.
_Corol. 4._ Et propterea hæ figuræ ultimæ (quoad perimetros acE,) non sunt
rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.
Lemma IV.
_Si in duabus figuris AacE, PprT, inscribantur (ut supra) duæ
parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi
latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ parallelogrammorum
in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint
eædem; dico quod figuræ duæ AacE, PprT, sunt ad invicem in eadem illa
ratione._
[Illustration]
Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit
summa omnium ad summam omnium, & ita figura ad figuram; existente nimirum
figura priore (per Lemma III.) ad summam priorem, & posteriore figura ad
summam posteriorem in ratione æqualitatis.
_Corol._ Hinc si duæ cujuscunq; generis quantitates in eundem partium
numerum utcunq; dividantur, & partes illæ, ubi numerus earum augetur &
magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem,
prima ad primam, secunda ad secundam cæteræq; suo ordine ad cæteras; erunt
tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus
figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summæ partium semper
erunt ut summæ parallelogrammorum; atq; adeo, ubi partium &
parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in
ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per hypothesin)
in ultima ratione partis ad partem.
Lemma V.
_Similium figurarum latera omnia, quæ sibi mutuo respondent, sunt
proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areæ sunt in
duplicata ratione laterum._
Lemma VI.
[Illustration]
_Si arcus quilibet positione datus AB subtendatur chorda AB, & in
puncto aliquo A, in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinq;
producta AD; dein puncta A, B ad invicem accendant & coeant; dico quod
angulus BAD sub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum &
ultimo evanescet._
Nam producatur AB ad b & AD ad d, & punctis A, B coeuntibus, nullaq; adeo
ipsius Ab parte AB jacente amplius intra curvam, manifestum esi quod hæc
recta Ab, vel coincidet cum tangente Ad, vel ducetur inter tangentem &
curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturæ, ergo prior
obtinet. _Q. E. D._
Lemma VII.
_Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordæ & tangentis ad
invicem est ratio æqualitatis. Vide _Fig._ Lem. 6 & 8 vi._
Nam producantur AB & AD ad b & d secanti BD parallela agatur bd. Sitq;
arcus Ab similis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb, per
Lemma superius, evanescet; adeoq; rectæ Ab, Ad arcus intermedius Ab
coincident, & propterea æquales erunt. Unde & hisce semper proportionales
rectæ AB, AD, & arcus intermedius AB rationem ultimam habebunt æqualitatis.
_Q. E. D._
[Illustration]
_Corol. 1._ Unde si per B ducatur tangenti parallela BF rectam quamvis AF
per A transeuntem perpetuo secans in F, hæc ultimo ad arcum evanescentem AB
rationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo AFBD,
rationem semper habet æqualitatis ad AD.
_Corol. 2._ Et si per B & A ducantur plures rectæ BE, BD, AF, AG, secantes
tangentem AD & ipsius parallelam BF, ratio ultima abscissarum omnium AD,
AE, BF, BG, chordæq; & arcus AB ad invicem erit ratio æqualitatis.
_Corol. 3._ Et propterea hæ omnes lineæ in omni de rationibus ultimis
argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Lemma VIII.
[Illustration]
_Si rectæ datæ AR, BR cum arcu AB, chorda AB & tangente AD, triangula
tria ARB, ARB, ARD constituunt, dein puncta A, B accedunt ad invicem:
dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, &
ultima ratio æqualitatis._
Nam producantur AB, AD, AR ad b, d & r. Ipsi RD agatur parallela rbd, &
arcui AB similis ducatur arcus Ab. Coeuntibus punctis A, B, angulus bAd
evanescet, & propterea triangula tria rAb, rAb, rAd coincident, suntq; eo
nomine similia & æqualia. Unde & hisce semper similia & proportionalia RAB,
RAB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & æqualia. _Q. E. D._
_Corol._ Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis
argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Lemma IX.
[Illustration]
_Si recta AE & Curva AC positione datæ se mutuo secent in angulo dato
A, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur BD, EC,
curvæ occurrentes in B, C; dein puncta B, C accedant ad punctum A: dico
quod areæ triangulorum ADB, AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata
ratione laterum._
Etenim in AD producta capiantur Ad, Ae ipsis AD, AE proportionales, &
erigantur ordinatæ db, ec ordinatis DB, EC parallelæ & proportionales.
Producatur AC ad c, ducatur curva Abc ipsi ABC similis, & recta Ag tangatur
curva utraq; in A; & secantur ordinatim applicatæ in F, G, f, g. Tum coeant
puncta B, C cum puncto A, & angulo cAg evanescente, coincident areæ
curvilineæ Abd, Ace cum rectilineis Afd, Age, adeoq; per Lemma V, erunt in
duplicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt
areæ ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE. Ergo & areæ ABD, ACE sunt
ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. _Q. E. D._
Lemma X.
_Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso
motus initio in duplicata ratione temporum._
Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitæ per ordinatas
DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areæ ABD, ACE his
ordinatis descriptæ, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata
ratione temporum AD, AE. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium
figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui
viribus æqualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis
generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quæ corpora temporibus
ijsdem proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata
temporum in quibus generantur quam proxime.
_Corol. 2._ Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis
generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.
Lemma XI.
_Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata
subtensæ arcus contermini._
[Illustration]
_Cas. 1._ Sit arcus ille AB, tangens ejus AD, subtensa anguli contactus ad
tangentem perpendicularis BD, subtensa arcus AB. Huic subtensæ AB &
tangenti AD perpendiculares erigantur AG, BG, concurrentes in G; dein
accedant puncta D, B, G, ad puncta d, b, g, sitq; J intersectio linearum
BG, AG ultimo facta ubi puncta D, B accedunt usq; ad A. Manifestum est quod
distantia GJ minor esse potest quam assignata quævis. Est autem (ex natura
circulorum per puncta ABG, Abg transeuntium) AB quad. æquale AG × BD & Ab
quad. æquale Ag × bd, adeoq; ratio AB quad. ad Ab quad. componitur ex
rationibus AG ad Ag & BD ad bd. Sed quoniam JG assumi potest minor
longitudine quavis assignata, fieri potest ut ratio AG ad Ag minus differat
a ratione æqualitatis quam pro differentia quavis assignata, adeoq; ut
ratio AB quad. ad Ab quad. minus differat a ratione BD ad bd quam pro
differentia quavis assignata. Est ergo, per Lemma I, ratio ultima AB quad.
ad Ab quad. æqualis rationi ultimæ BD ad bd. _Q. E. D._
_Cas. 2._ Inclinetur jam BD ad AD in angulo quovis dato, & eadem semper
erit ratio ultima BD ad bd quæ prius, adeoq; eadem ac AB quad. ad Ab quad.
_Q. E. D._
_Cas. 3._ Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli D, d ad æqualitatem
semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis
assignata, adeoq; ultimo æquales erunt, per Lem. I. & propterea lineæ BD,
bd in eadem ratione ad invicem ac prius. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab & eorum sinus BC, bc
fiant ultimo chordis AB, Ab æquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut
subtensæ BD, bd.
_Corol. 2._ Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in triplicata ratione
laterum AD, Ad, inq; sesquiplicata laterum DB, db: Utpote in composita
ratione laterum AD & DB, Ad & db existentia. Sic & triangula ABC, Abc sunt
ultimo in triplicata ratione laterum BC, bc.
_Corol. 3._ Et quoniam DB, db sunt ultimo parallelæ & in duplicata ratione
ipsarum AD, Ad; erunt areæ ultimæ curvilineæ ADB, Adb (ex natura Parabolæ)
duæ tertiæ partes triangulorum rectilineorum ADB, Adb, & segmenta AB, Ab
partes tertiæ eorundem triangulorum. Et inde hæ areæ & hæc segmenta erunt
in triplicata ratione tum tangentium AD, Ad; tum chordarum & arcuum AB, Ab.
_Scholium._
Cæterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem
esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec
iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctum A, nec infinite
parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum AJ finitæ esse
magnitudinis. Capi enim potest DB ut AD^3: quo in casu circulus nullus per
punctum A inter tangentem AD & curvam AB duci potest, proindeq; angulus
contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat DB
successive ut AD^4, AD^5, AD^6, AD^7, &c. habebitur series angulorum
contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite
minor priore. Et si fiat DB successive ut AD^2, AD^{3/2}, AD^{4/3},
AD^{5/4}, AD^{6/5}, AD^{7/6}, &c. habebitur alia series infinita angulorum
contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus
infinite major, & quilibet posterior infinite major priore. Sed & inter
duos quosvis ex his angulis potest series utrinq; in infinitum pergens
angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite
major priore. Ut si inter terminos AD^2 & AD^3 inseratur series AD^{13/6},
AD^{11/5}, AD^{9/4}, AD^{7/3}, AD^{5/2}, AD^{8/3}, AD^{11/4}, AD^{14/5},
AD^{17/6}, &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri
potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis
differentium. Neq; novit natura limitem.
Quæ de curvis lineis deq; superficiebus comprehensis demonstrata sunt,
facile applicantur ad solidorum superficies curvas & contenta. Præmisi vero
hæc Lemmata ut effugerem tædium deducendi perplexas demonstrationes, more
veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur
demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est
indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica
censetur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum
evanescentium summas & rationes, primasq; nascentium, id est, ad limites
summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonstrationes
qua potui breuitate præmittere. His enim idem præstatur quod per methodum
indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in
sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes
consideravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim
indivisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium
determinatarum, sed summarum & rationum limites semper intelligi, vimq;
talium demonstrationum ad methodum præcedentium Lemmatum semper revocari.
Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio;
quippe quæ, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi evanuerunt, nulla est.
Sed & eodem argumento æque contendi posset nullam esse corporis ad certum
locum pergentis velocitatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit
locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis
est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur neq;
antequam attingit locum ultimum & motus cessat, neq; postea, sed tunc cum
attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum
ultimum & quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem
quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non
antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio
prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est
quacum esse (vel augeri & minui) incipiunt & cessant. Extat limes quem
velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi. Hæc est
velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum & proportionum
omnium incipientium & cessantium. Cumq; hic limes sit certus & definitus,
Problema est vere Geometricum eundem determinare. Geometrica vero omnia in
aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.
Contendi etiam potest, quod si dentur ultimæ quantitatum evanescentium
rationes, dabuntur & ultimæ magnitudines; & sic quantitas omnis constabit
ex indivisibilibus, contra quam _Euclides_ de incommensurabilibus, in libro
decimo Elementorum, demonstravit. Verum hæc Objectio falsæ innititur
hypothesi. Ultimæ rationes illæ quibuscum quantitates evanescunt, revera
non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum
sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, & quas propius
assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero transgredi,
neq; prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius
intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duæ quarum data est
differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum
ratio æqualitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimæ seu maximæ
quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum
imaginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes
vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed
cogita semper diminuendas sine limite.
* * * * *
SECT. II.
_De Inventione Virium Centripetarum._
Prop. I. Theorema. I.
_Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium
ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse
temporibus proportionales._
[Illustration]
Dividatur tempus in partes æquales, & prima temporis parte describat corpus
vi insita rectam AB. Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta
pergeret ad c, (per Leg. I) describens lineam Bc æqualem ipsi AB, adeo ut
radiis AS, BS, cS ad centrum actis, consectæ forent æquales areæ ASB, BSc.
Verum ubi corpus venit ad B, agat vis centripeta impulsu unico sed magno,
faciatq; corpus a recta Bc deflectere & pergere in recta BC. Ipsi BS
parallela agatur cC occurrens BC in C, & completa secunda temporis parte,
corpus (per Legum Corol. I) reperietur in C, in eodem plano cum triangulo
ASB. Junge SC, & triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, æquale erit
triangulo SBc, atq; adeo etiam triangulo SAB. Simili argumento si vis
centripeta successive agat in C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis
temporis particulis singulas describat rectas CD, DE, EF, &c. jacebunt hæ
in eodem plano, & triangulum SCD triangulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF ipsi
SDE æquale erit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ in plano immoto
describuntur: & componendo, sunt arearum summæ quævis SADS, SAFS inter se,
ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo
triangulorum in infinitum, & eorum ultima perimeter ADF, (per Corollarium
quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeoq; vis centripeta qua corpus
de tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areæ vero
quævis descriptæ SADS, SAFS temporibus descriptionum semper proportionales,
erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales. _Q. E. D._
_Corol. 1._ In mediis non resistentibus, si areæ non sunt temporibus
proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.
_Corol. 2._ In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non
tendunt ad concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.
Pro. II. Theor. II.
_Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad
punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens,
describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur
a vi centripeta tendente ad idem punctum._
_Cas. 1._ Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu
rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. I.) Et vis illa qua
corpus de cursu rectilineo detorquetur & cogitur triangula quam minima SAB,
SBC, SCD &c. circa punctum immobile S, temporibus æqualibus æqualia
describere, agit in loco B secundum lineam parallelam ipsi cC (per Prop. 40
Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam BS & in loco C secundum
lineam ipsi dD parallelam, hoc est secundum lineam CS, &c. Agit ergo semper
secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile S. _Q. E. D._
_Cas. 2._ Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat
superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur
eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suo S uniformiter in
directum.
_Scholium._
Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc
casu sensus Propositionis est, quod vis illa quæ ex omnibus componitur,
tendit ad punctum S. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei
descriptæ perpendicularem, hæc faciet corpus deflectere a plano sui motus,
sed quantitatem superficiei descriptæ nec augebit nec minuet, & propterea
in compositione virium negligenda est.
Prop. III. Theor. III.
_Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq; moti
ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales,
urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex
vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur._
Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quæ æqualis & contraria sit illi qua
corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrumq; secundum lineas parallelas,
perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius:
vis autem qua corpus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi æqualem
& contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel quiescet
vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente differentia
virium, perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum
describere. Tendit igitur (per Theor. 2.) differentia virium ad corpus
illud alterum ut centrum. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas
temporibus proportionales, atq; de vi tota (sive simplici, sive ex viribus
pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius
urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua
corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet
ad corpus alterum ut centrum.
_Corol. 2._ Et si areæ illæ sunt temporibus quamproxime proportionales, vis
reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.
_Corol. 3._ Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus
alterum, erunt areæ illæ temporibus quamproxime proportionales.
_Corol. 4._ Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quæ,
cum temporibus collatæ, sunt valde inæquales, & corpus illud alterum vel
quiescit vel movetur uniformiter in directum; actio vis centripetæ ad
corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur
cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Visq; tota ex omnibus, si
plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum
dirigitur, circum quod æquabilis est arearum descriptio. Idem obtinet ubi
corpus alterum motu quocunq; movetur, si modo vis centripeta sumatur, quæ
restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum.
_Scholium_
Quoniam æquabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa
respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum
tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur
circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo &
retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus æquabilem arearum
descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in
spatiis liberis peragitur?
Prop. IV. Theor. IV.
_Corporum quæ diversos circulos æquabili motu describunt, vires
centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut
arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios._
[Illustration]
Corpora B, b in circumferentiis circulorum BD, bd gyrantia, simul
describant arcus BD, bd. Quoniam sola vi insita describerent tangentes BC,
bc his arcubus æquales, manifestum est quod vires centripetæ sunt quæ
perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum,
atq; adeo hæ sunt ad invicem in ratione prima spatiorum nascentium CD, cd:
tendunt vero ad centra circulorum per Theor. II, propterea quod areæ radiis
descriptæ ponuntur temporibus proportionales. Fiat figura tkb figuræ DCB
similis, & per Lemma V, lineola CD erit ad lineolam kt ut arcus BD ad arcum
bt: nec non, per Lemma XI, lineola nascens tk ad lineolam nascentem dc ut
bt quad. ad bd quad. & ex æquo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc
ut BD × bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut BD × bt ÷ Sb ad bd quad. ÷
Sb, adeoq; (ob æquales rationes bt ÷ Sb & BD ÷ SB) ut BD quad. ÷ SB ad bd
quad. ÷ Sb _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad
radios circulorum.
_Corol. 2._ Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata ad
radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ
vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe &
ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione
simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum
inverse.
_Corol. 3._ Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ
tum velocitates ut radii, & vice versa.
_Corol. 4._ Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires
centripetæ sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et
vice versa.
_Corol. 5._ Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum,
vires centripetæ sunt reciproce ut radii, & velocitates æquales; Et vice
versa.
_Corol. 6._ Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires
centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in
radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
_Corol. 7._ Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus
corpora similes figurarum quarumcunq; similium, centraq; similiter posita
habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione præcedentium
ad hosce casus applicata.
_Scholium._
Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus cælestibus (ut seorsum
colligerunt etiam nostrates _Wrennus, Hookius & Halleus_) & propterea quæ
spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum
a centris decrevi fusius in sequentibus exponere.
Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis
centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis
illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD,
quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illius BD ad circuli
diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam
continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo
tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus
idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli
diametrum applicato æquale; adeoq; est ad vim gravitatis ut spatium illud
ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi
Propositionibus _Hugenius_, in eximio suo Tractatu de Horologio
oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonstrari etiam possunt præcedentia in hunc modum. In circulo quovis
describi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et si corpus in Polygoni
lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo
reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut
ejus velocitas, adeoq; summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa
& numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut
longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem applicata ad Radium
circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium;
adeoq; si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut
quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Hæc est vis
qua corpus urget circulum, & huic æqualis est vis contraria qua circulus
continuo repellit corpus centrum versus.
Prop. V. Prob. I.
[Illustration]
_Data quibuscunq; in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus
ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud
invenire._
Figuram descriptam tangant rectæ tres PT, TQV, VR in punctis totidem P, Q,
R, concurrentes in T & V. Ad tangentes erigantur perpendicula PA, QB, RC,
velocitatibus corporis in punctis illis P, Q, R a quibus eriguntur
reciproce proportionalia; id est ita ut sit PA ad QB ut velocitas in Q ad
velocitatem in P, & QB ad RC ut velocitas in R ad velocitatem in Q. Per
perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos rectos ducantur AD, DBE, EC
concurrentia in D & E: Et actæ TD, VE concurrent in centro quæsito S.
Nam cum corpus in P & Q radiis ad centrum ductis areas describat temporibus
proportionales, sintq; areæ illæ simul descriptæ ut velocitates in P & Q
ductæ respective in perpendicula a centro in tangentes PT, QT demissa:
Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeoq; ut perpendicula
AP, BQ directe, id est ut perpendicula a puncto D in tangentes demissa.
Unde facile colligitur quod puncta S, D, T sunt in una recta. Et simili
argumento puncta S, E, V sunt etiam in una recta; & propterea centrum S in
concursu rectarum TD, VE versatur. _Q. E. D._
Pro. VI. Theor. V.
_Si corpus P revolvendo circa centrum S, describat lineam quamvis
curvam APQ, tangat vero recta ZPR curvam illam in puncto quovis P, & ad
tangentem ab alio quovis curvæ Q agatur QR distantiæ SP parallela, ac
demittatur QT perpendicularis ad distantiam SP: Dico quod vis
centripeta sit reciproce ut solidum SP quad. × QT quad. ÷ QR, si modo
solidi illius ea semper sumatur quantitas quæ ultimo fit ubi coeunt
puncta P & Q._
[Illustration]
Namq; in figura indefinite parva QRPT lineola nascens QR, dato tempore, est
ut vis centripeta (per Leg. II.) & data vi, ut quadratum temporis (per Lem.
X.) atq; adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis
conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum
temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejus dupla SP × QT, id est
ut SP & QT conjunctim, adeoq; vis centripeta ut QR directe atq; SP quad. in
QT quad. inverse, id est ut SP quad. × QT quad. ÷ QR inverse. _Q. E. D._
_Corol._ Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis
centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in
figuræ illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum SP
quad. × QT quad. ÷ QR huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus
exempla in problematis sequentibus.
Prop. VII. Prob. II.
[Illustration]
_Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis
centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum._
Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetæ S, corpus in
circumferentia latum P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad diametrum SA
& rectam SP demitte perpendiculi PK, QT, & per Q ipsi SP parallelam age LR
occurrentem circulo in L & tangenti PR in R, & coeant TQ, PR in Z. Ob
similitudinem triangulorum ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT
quad. ut SA quad. ad SP quad. Ergo QRL × SP quad. ÷ SA quad. æquatur QT
quad. Ducantur hæc æqualia in SP quad. ÷ QR, & punctis P & Q coeuntibus,
scribatur SP pro RL. Sic fiet SP qc. ÷ SAq. æquale QTq. × SPq. ÷ QR. Ergo
(per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut SP qc. ÷ SAq., id
est (ob datum SA quad.) ut quadrato-cubus distantiæ SP. Quod erat
inveniendum.
Prop. VIII. Prob. III.
[Illustration]
_Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc effectum requiritur lex vis
centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineæ omnes PS, RS
ad id ductæ, pro parallelis haberi possint._
A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas
perpendiculariter secans in M & N, & jungantur CP. Ob similia triangula
CPM, & TPZ, vel (per Lem. VIII.) TPQ, est CPq. ad PMq. ut PQq. vel (per
Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli rectangulum QR × RN + QN æquale
est PR quadrato. Coeuntibus autem punctis P, Q fit RN + QN æqualis 2PM.
Ergo est CP quad. ad PM quad. ut QR × 2PM ad QT quad. adeoq; QT quad. ÷ QR
æquale 2PM cub. ÷ CP quad., & QT quad. × SP quad. ÷ QR æquale 2PM cub. × SP
quad. ÷ CP quad. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce
ut 2PM cub. × SP quad. ÷ CP quad. hoc est (neglecta ratione determinata 2SP
quad. ÷ CP quad.) reciproce ut PM cub. _Q. E. I._
_Scholium._
Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel
Parabola, vi centripeta quæ sit reciproce ut cubus ordinatim applicatæ ad
centrum virium maxime longinquum tendentis.
Prop. IX. Prob. IV.
[Illustration]
_Gyretur corpus in spiral PQS secante radios omnes SP, SQ, &c. in
angulo dato: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum
spiralis._
Detur angulus indefinite parvus PSQ, & ob datos omnes angulos dabitur
specie figura SPQRT. Ergo datur ratio QT ÷ RQ estq; QT quad. ÷ QR ut QT,
hoc est ut SP. Mutetur jam utcunq; angulus PSQ, & recta QR angulum
contactus QPR subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione
ipsius PR vel QT. Ergo manebit QT quad. ÷ QR eadem quæ prius, hoc est ut
SP. Quare QTq. × SPq. ÷ QR est ut SP cub. id est (per Corol. Theor. V.) vis
centripeta ut cubus distantiæ SP. _Q. E. I._
Lemma XII.
_Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se
æqualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum
diametros ejus descriptis._
Constat utrumq; ex Conicis.
Prop. X. Prob. V.
_Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad
centrum Ellipseos._
[Illustration]
Sunto CA, CB semiaxes Ellipseos; GP, DK diametri conjugatæ; PF, Qt,
perpendicula ad diametros; Qv ordinatim applicata ad diametrum GP; & si
compleatur parallelogrammum QvRP, erit (ex Conicis) PvG ad Qv quad. ut PC
quad. ad CD quad. & (ob similia triangula Qvt, PCF) Qv quad. est ad Qt
quad. ut PC quad. ad PF quad. & conjunctis rationibus, PvG ad Qt quad. ut
PC quad. ad CD quad. & PC quad. ad PF quad. id est vG ad Qt quad. ÷ Pv ut
PC quad. ad CDq. × PFq. ÷ PCq.. Scribe QR pro Pv, & (per Lemma xii.) BC ×
CA pro CD × PF, nec non (punctis P & Q coeuntibus) 2PC pro vG, & ductis
extremis & medijs in se mutuo, fiet QTq. × PCq. ÷ QR æquale 2BCq. × CAq. ÷
PC. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2BCq. ×
CAq. ÷ PC, id est (ob datum 2BCq. × CAq.) ut 1 ÷ PC, hoc est, directe ut
distantia PC. _Q. E. I._
_Corol. 1._ Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in
Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem
Ellipsis migrare potest.
_Corol. 2._ Et æqualia erunt revolutionum in Figuris universis circa
centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus
similibus æqualia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem
communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areæ totæ
directe & arearum particulæ simul descriptæ inverse; id est ut axes minores
directe & corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est
ut axes illi directe & ordinatim applicatæ ad axes alteros inverse, &
propterea (ob æqualitatem rationum directarum & inversarum) in ratione
æqualitatis.
_Scholium._
Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus
movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infinite distans jam tendens,
evadet æquabilis. Hoc est Theorema _Galilei_. Et si Conisectio Parabolica,
inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam,
movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.
* * * * *
SECT. III.
_De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis._
Prop. XI. Prob. VI.
_Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetæ tendentis
ad umbilicum Ellipseos._
[Illustration]
Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellipseos tum
diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in x, & compleatur
parallelogrammum QxPR. Patet EP æqualem esse semiaxi majori AC, eo quod
acta ab altero Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela, (ob æquales
CS, CH) æquentur ES, EI, adeo ut EP semisumma sit ipsarum PS, PI, id est
(ob parallelas HI, PR & angulos æquales IPR, HPZ) ipsorum PS, PH, quæ
conjunctim axem totum 2AC adæquant. Ad SP demittatur perpendicularis QT, &
Ellipseos latere recto principali (seu 2BC quad. ÷ AC) dicto L, erit L × QR
ad L × Pv ut QR ad Pv; id est ut PE (seu AC) ad PC; & L × Pv ad GvP ut L ad
Gv; & GvP ad Qv quad. ut CP quad. ad CD quad.; & (per Lem. VIII.) Qv quad.
ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio æqualitatis, & Qx quad. seu
Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad., id est ut CA quad. ad PF
quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad. Et conjunctis his
omnibus rationibus, L × QR fit ad QT quad. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad
CDq. + CDq. ad CBq. id est ut AC × L (seu 2CBq.) × CPq. ad PC × Gv × CBq.
sive ut 2PC ad Gv. Sed punctis Q & P coeuntibus, æquantur 2PC & Gv. Ergo &
his proportionalia L × QR & QT quad. æquantur. Ducantur hæc aqualia in SPq.
÷ QR & fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR. Ergo (per Corol. Theor. V.)
vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est reciproce in ratione
duplicata distantiæ SP. _Q. E. I._
Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, & Hyperbolam,
liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis & usum ejus in
sequentibus, non pigebit casus cæteros demonstratione confirmare.
Prop. XII. Prob. VII.
_Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetæ tendentis
ad umbilicum figuræ._
[Illustration]
Sunto CA, CB semi-axes Hyperbolæ; PG, KD diametri conjugatæ; PF, Qt
perpendicula ad diametros; & Qv ordinatim applicata ad diametrum GP. Agatur
SP secans tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in x, &
compleatur parallelogrammum QRPx. Patet EP æqualem esse semi-axi transverso
AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilico H linea HI ipsi EC
parallela, ob æquales CS, CH, æquentur ES, EI; adeo ut EP semidifferentia
sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos æquales IPR,
HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2AC adæquat. Ad SP
demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolæ latere recto principali (seu
2BCq. ÷ AC) dicto L, erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv, id est, ut PE (seu
AC) ad PC; Et L × Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut CPq. ad CDq.; &
(per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq., punctis Q & P coeuntibus fit ratio
æqualitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq., id est ut CAq. ad
PFq., sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq.: & conjunctis his omnibus
rationibus L × QR fit ad QTq. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad CDq. + CDq.
ad CBq.: id est ut AC × L (seu 2BCq.) × PCq. ad PC × Gv × CB quad. sive ut
2PC ad Gv, sed punctis Q & P coeuntibus æquantur 2PC & Gv. Ergo & his
proportionalia L × QR & QTq. æquantur. Ducantur hæc æqualia in SPq. ÷ QR &
fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR. Ergo (per Corol. Theor. V.) vis
centripeta reciproce est ut L × SPq. id est in ratione duplicata distantiæ
SP. _Q. E. I._
Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam
versa, movebitur in Hyperbola conjugata.
Lemma XIII.
_Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum
distantiæ verticis illius ab umbilico figuræ._ Patet ex Conicis.
Lemma XIV.
[Illustration]
_Perpendiculum quod ab umbilico Parabolæ ad tangentem ejus demittitur,
medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus &
a vertice principali figuræ._
Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A vertex principalis, P punctum
contactus, PO ordinatim applicata ad diametrum principalem, PM tangens
diametro principali occurrens in M, & SN linea perpendicularis ab umbilico
in tangentem. Jungatur AN, & ob æquales MS & SP, MN & NP, MA & AO,
parallelæ erunt rectæ AN & OP, & inde triangulum SAN rectangulum erit ad A
& simile triangulis æqualibus SMN, SPN. Ergo PS est ad SN ut SN ad SA.
_Q. E. D._
Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.
Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.
Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quæ ab umbilico
in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quæ Parabolam tangit in
vertice principali.
Prop. XIII. Prob. VIII.
_Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis centripetæ
tendentis ad umbilicum hujus figuræ._
[Illustration]
Maneat constructio Lemmatis, sitq; P corpus in perimetro Parabolæ, & a loco
Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR &
perpendicularem QT, necnon Qv tangentiparallelam & occurrentem tum diametro
YPG in v, tum distantiæ SP in x. Jam ob similia triangula Pxv, MSP &
æqualia unius latera SM, SP, æqualia sunt alterius latera Px seu QR & Pv.
Sed, ex Conicis, quadratum ordinatæ Qv æquale est rectangulo sub latere
recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4PS × Pv
seu 4PS × QR; & punctis P & Q coeuntibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit
æqualitatis. Ergo Qxq. eo in casu, æquale est rectangulo 4PS × QR. Est
autem (ob æquales angulos QxT, MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc
est (per Corol. I. Lem. XIV.) ut PS ad AS, id est ut 4PS × QR ad 4AS × QR,
& inde (per Prop. 9. Lib. V. Elem.) QTq. & 4AS × QR æquantur. Ducantur hæc
æqualia in SPq. ÷ QR, & fiet SPq. × QTq. ÷ QR æquale SPq. × 4AS: &
propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est reciproce ut SPq. ×
4AS, id est, ob datam 4AS, reciproce in duplicata ratione distantiæ SP.
_Q. E. I._
_Corol. I._ Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est, quod si
corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacunq; cum
velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quæ sit reciproce
proportionalis quadrato distantiæ a centro, simul agitetur; movebitur hoc
corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; &
contra.
_Corol. II._ Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua
lineola PR in minima aliqua temporis particula describi possit, & vis
centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatium QR:
movebitur hoc corpus in Conica aliqua sectione cujus latus rectum est
quantitas illa QTq. ÷ QR quæ ultimo fit ubi lineolæ PR, QR in infinitum
diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum
excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.
Prop. XIV. Theor. VI.
_Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centripeta
decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium
Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad
centrum ductis, eodem tempore describunt._
Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum L æquale est quantitati QTq. ÷
QR quæ ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q. Sed linea minima QR, dato
tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce
ut SPq. Ergo QTq. ÷ QR est ut QTq. × SPq. hoc est, latus rectum L in
duplicata ratione areæ QT × SP. _Q. E. D._
Corol. Hinc Ellipseos area tota, eiq; proportionale rectangulum sub axibus,
est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra
ratione temporis periodici.
Prop. XV. Theor. VII.
_Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in
ratione sesquiplicata transversorum axium._
Namq; axis minor est medius proportionalis inter axem majorem (quem
transversum appello) & latus rectum, atq; adeo rectangulum sub axibus est
in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & sesquiplicata
ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis
Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti &
integra ratione periodici temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio
lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi æqualis rationi
periodici temporis. _Q. E. D._
Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis,
quorum diametri æquantur majoribus axibus Ellipseon.
Prop. XVI. Theor. VIII.
_Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quæ ibidem tangant
orbitas, demissisq; ab umbilico communi ad has tangentes
perpendicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione
composita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione
laterum rectorum directe._ Vide Fig. Prop. X. &. XI.
Ab umbilico S ad tangentem PR demitte perpendiculum SY & velocitas corporis
P erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis SYq. ÷ L. Nam velocitas
illa est ut arcus quam minimus PQ in data temporis particula descriptus,
hoc est (per Lem. VII.) ut tangens PR, id est (ob proportionales PR ad QT &
SP ad SY) ut SP × QT ÷ SY, sive ut SY reciproce & SP × QT directe; estq; SP
× QT ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata
ratione lateris recti _Q. E. D._
_Corol. 1._ Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione
perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.
_Corol. 2._ Velocitates corporum in maximis & minimis ab umbilico communi
distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse &
dimidiata ratione laterum rectorum directe. Nam perpendicula jam sunt ipsæ
distantiæ.
_Corol. 3._ Ideoq; velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico
distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia, in
dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.
_Corol. 4._ Corporum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus
distantiis ab umbilico communi sunt eædem quæ corporum gyrantium in
circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.)
reciproce in dimidiata ratione distantiarum. Nam perpendicula jam sunt
semi-axes minores, & hi sunt ut mediæ proportionales inter distantias &
latera recta. Componatur hæc ratio inverse cum dimidiata ratione laterum
rectorum directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.
_Corol. 5._ In eadem vel æqualibus figuris, vel etiam in figuris
inæqualibus, quarum latera recta sunt æqualia, velocitas corporis est
reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem.
_Corol. 6._ In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ratione
distantiæ corporis ab umbilico figuræ, in Ellipsi minor est, in Hyperbola
major quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum
demissum ab umbilico ad tangentem Parabolæ est in dimidiata ratione
distantiæ.
_Corol. 7._ In Parabola, velocitas ubiq; est ad velocitatem corporis
revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri
binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac
ratione. Nam per hujus Corollarium secundum, velocitas in vertice Parabolæ
est in hac ratione, & per Corollaria sexta hujus & Theorematis quarti,
servatur eadem proportio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola
velocitas ubiq; æqualis est velocitati corporis revolventis in circulo ad
dimidiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.
_Corol. 8._ Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad velocitatem
gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis, ut
distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis
demissum. Patet per Corollarium quintum.
_Corol. 9._ Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc
circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in
dimidiata ratione distantiarum; fiet ex æquo velocitas gyrantis in Conica
sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media
proportionalis inter distantiam illam communem & semissem lateris recti
sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis
demissum.
Prop. XVII. Prob. IX.
_Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato
distantiæ a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita;
requiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data
velocitate secundum datam rectam egrediens._
[Illustration]
Vis centripeta tendens ad punctum S ea sit quæ corpus p in orbita quavis
data pq gyrare faciat, & cognoscatur hujus velocitas in loco p. De loco P
secundum lineam PR exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente
vi centripeta, deflectat illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur recta PR
tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab S ad
eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1.
Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rectum orbitæ datæ, in
ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione
velocitatum, atq; adeo datur. Sit istud L. Datur præterea Conisectionis
umbilicus S. Anguli RPS complementum ad duos rectos fiat angulus RPH, &
dabitur positione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH
perpendiculo SK, & erecto semiaxe conjugato BC, est SPq. - 2KPH + PHq. (per
Prop. 13. Lib. II. Elem.) = SHq. = 4CHq. = 4BHq. - 4BCq. = {SP + PH} quad.
- L × {SP + PH} = SPq. + 2SPH + PHq. - L × {SP + PH}. Addantur utrobiq;
2KPH + L × {SP + PH} - SPq. - PHq. & fiet L × {SP + PH} = 2SPH + 2KPH, seu
SP + PH ad PH ut 2SP + 2KP ad L. Unde datur PH tam longitudine quam
positione. Nimirum si ea sit corporis in P velocitas, ut latus rectum L
minus fuerit quam 2SP + 2KP, jacebit PH ad eandem partem tangentis PR cum
linea PS, adeoq; figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe
principali SP + PH, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut latus
rectum L æquale fuerit 2SP + 2KP, longitudo PH infinita erit, & propterea
figura erit Parabola axem habens SH parallelum lineæ PK, & inde dabitur.
Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo P exeat, capienda
erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeoq; tangente inter
umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem æqualem
differentiæ linearum SP & PH, & inde dabitur. _Q. E. I._
_Corol. 1._ Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principali D, latere
recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H capiendo DH ad DS ut est
latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4DS. Nam proportio SP +
PH ad PH ut 2SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS + DH ad DH ut 4DS ad
L, & divisim DS ad DH ut 4DS - L ad L.
_Corol. 2._ Unde si datur corporis velocitas in vertice principali D,
invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam
distantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datæ ad velocitatem
corporis in circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.)
dein DH ad DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4DS.
_Corol. 3._ Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacunq; Conica, & ex
orbe suo impulsu quocunq; exturbetur; cognosci potest orbis in quo postea
cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo
quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato
impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.
_Corol. 4._ Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo
perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis
illa in punctis quibusdam inducit, & ex seriei analogia, mutationes
continuas in locis intermediis æstimando.
* * * * *
SECT. IV.
_De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolicorum ex
umbilico dato._
[Illustration]
_Lemma XV._
_Si ab Ellipseos vel Hyperbolæ cujusvis umbilicis duobus S, H, ad
punctum quodvis tertium V inflectantur rectæ duæ SV, HV, quarum una HV
æqualis sit axi transverso figuræ, altera SV a perpendiculo TR in se
demisso bisecetur in T; perpendiculum illud TR sectionem Conicam
alicubi tangit: & contra, si tangit, erit VH æqualis axi figuræ._
Secet enim VH sectionem conicam in R, & jungatur SR. Ob æquales rectas TS,
TV, æquales erunt anguli TRS, TRV. Bisecat ergo RT angulum VRS & propterea
figuram tangit: & contra. _Q. E. D._
Prop. XVIII. Prob. X.
_Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipticas
& Hyperbolicas, quæ transibunt per puncta data, & rectas positione
datas contingent._
[Illustration]
Sit S communis umbilicus figuraram; AB longitudo axis transversi
Trajectoriæ cujusvis; P punctum per quod Trajectoria debet transire; & TR
recta quam debet tangere. Centro P intervallo AB - SP, si orbita sit
Ellipsis, vel AB + SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG. Ad
tangentem TR demittatur perpendiculum ST, & producatur ea ad V ut sit TV
æqualis ST; centroq; V & intervallo AB describatur circulus FH. Hac methodo
sive dentur duo puncta P, p, sive duæ tangentes TR, tr, sive punctum P &
tangens TR, describendi sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis,
& umbilicis S, H, axe illo dato describatur Trajectoria. Dico factum. Nam
Trajectoria descripta (eo quod PH + SP in Ellipsi, & PH - SP in Hyperbola
æquatur axi) transibit per punctum P, & (per Lemma superius) tanget rectam
TR. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo P, p, vel tanget
rectas duas TR, tr. _Q. E. F._
Prop. XIX. Prob. XI.
_Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quæ
transibit per puncta data, & rectas positione datas continget._
[Illustration]
Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriæ describendæ. Centro P,
intervallo PS describe circulum FG. Ab umbilico ad tangentem demitte
perpendicularem ST, & produc eam ad V, ut sit TV æqualis ST. Eodem modo
describendus est alter circulus fg, si datur alterum punctum p; vel
inveniendum alterum punctum v, si datur altera tangens tr; dein ducenda
recta IF quæ tangat duos circulos FG, fg si dantur duo puncta P, p; vel
transeat per duo puncta V, v, si dantur duæ tangentes TR, tr, vel tangat
circulum FG & transeat per punctum V, si datur punctum P & tangens TR. Ad
FI demitte perpendicularem SI, eamq; biseca in K, & axe SK, vertice
principali K describatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob æquales SK
& IK, SP & FP transibit per punctum P; & (per Lemmatis XIV. Corol. 3.) ob
æquales ST & TV & angulum rectum STR, tanget rectam TR. _Q. E. F._
Prop. XX. Prob. XII.
[Illustration]
_Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describere,
quæ per data puncta transibit & rectas tanget positione datas._
_Cas. 1._ Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria ABC per puncta duo
B, C. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur ratio axis transversi ad
distantiam umbilicorum. In ea ratione cape KB ad BS, & LC ad CS. Centris B,
C, intervallis BK, CL, describe circulos duos, & ad rectam KL, quæ tangat
eosdem in K & L, demitte perpendiculum SG, idemq; seca in A & a, ita ut sit
SA ad AG & Sa ad aG, ut est SB ad BK, & axe Aa, verticibus A, a,
describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim H umbilicus alter figuræ
descriptæ, & cum sit SA ad AG ut Sa ad aG, erit divisim Sa - SA seu SH ad
aG - AG seu Aa in eadem ratione, adeoq; in ratione quam habet axis
transversus figuræ describendæ ad distantiam umbilicorum ejus; & propterea
figura descripta est ejusdem speciei cum describenda. Cumq; sint KB ad BS &
LC ad CS in eadem ratione, transibit hæc Figura per puncta B, C, ut ex
Conicis manifestum est.
[Illustration]
_Cas. 2._ Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria quæ rectas duas TR,
tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula ST, St
& produc eadem ad V, v, ut sint TV, tv æquales TS, ts. Biseca Vv in O, &
erige perpendiculum infinite OH, rectamq; VS infinite productam seca in K &
k ita, ut sit VK ad KS & Vk ad kS ut est Trajectoriæ describendæ axis
transversus ad umbilicorum distantiam. Super diametro Kk describatur
circulus secans rectam OH in H; & umbilicis S, H, axe transverso ipsam VH
æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam biseca Kk in X, & junge
HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK ad KS ut Vk ad kS; & composite ut VK + Vk ad
KS + kS; divisimq; ut Vk - VK ad kS - KS id est ut 2VX ad 2KX & 2KX ad 2SX,
adeoq; ut VX ad HX & HX ad SX, similia erunt triangula VXH, HXS, &
propterea VH erit ad SH ut VX ad XH, adeoq; ut VK ad KS. Habet igitur
Trajectoria; descriptæ axis transversus VH eam rationem ad ipsius
umbilicorum distantiam SH, quam habet Trajectoriæ describendæ axis
transversus ad ipsius umbilicorum distantiam, & propterea ejusdem est
speciei. Insuper cum VH, vH æquentur axi transverso, & VS, vS a rectis TR,
tr perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas
Trajectoriam descriptam tangere. _Q. E. F._
[Illustration]
_Cas. 3._ Dato umbilico S describenda sit Trajectoria quæ rectam TR tanget
in puncto dato R. In rectam TR demitte perpendicularem ST, & produc eandem
ad V, ut sit TV æqualis ST. Junge VR, & rectam VS infinite productam seca
in K & k, ita ut sit VK ad SK & Vk ad Sk ut Ellipseos describendæ axis
transversus ad distantiam umbilicorum; circuloq; super diametro Kk
descripto, secetur producta recta VR in H, & umbilicis S, H, axe transverso
rectam HV æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Namq; VH esse ad
SH ut VK ad SK, atq; adeo ut axis transversus Trajectoriæ describendæ ad
distantiam umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in Casu secundo, &
propterea Trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda:
rectam vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto R,
patet ex Conicis. _Q. E. F._
[Illustration]
_Cas. 4._ Circa umbilicum S describenda jam sit Trajectoria APB, quæ tangat
rectam TR, transeatq; per punctum quodvis P extra tangentem datum, quæq;
similis sit figuræ apb, axe transverso ab & umbilicis s, h descriptæ. In
tangentem TR demitte perpendiculum ST, & produc idem ad V, ut sit TV
æqualis ST. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq æquales; centroq; q
intervallo quod sit ad ab ut SP ad VS describe circulum secantem figuram
apb in p. Junge sp & age SH quæ sit ad sh ut est SP ad sp quæq; angulum PSH
angulo psh & angulum VSH angulo psq æquales constituat. Deniq; umbilicis S,
H, axe distantiam VH æquante, describatur sectio conica.
Dico factum. Nam si agatur sv quæ sit ad sp ut est sh ad sq, quæq;
constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh angulo psq æquales,
triangula svh, spq erunt similia, & propterea vh erit ad pq ut est sh ad
sq, id est (ob similia triangula VSP, hsq) ut est VS ad SP seu ab ad pq.
Æquantur ergo vh & ab. Porro ob similia triangula VSH, vsh est VH ad SH ut
vh ad sh, id est, axis Conicæ actionis jam descripta: ad illius umbilicorum
intervallum, ut axis ab ad umbilicorum intervallum sh, & propterea figura
jam descripta similis est figuræ apb. Transit autem hæc figura per punctum
P, eo quod triangulum PSH simile sit triangulo psh; & quia VH æquatur
ipsius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta TR tangit eadem rectam
TR. _Q. E. F._
Lemma XVI.
_A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas
quarum differentiæ vel dantur vel nullæ sunt._
[Illustration]
_Cas. 1._ Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum Z, quod invenire
oportet: Ob datam differentiam linearum AZ, BZ, locabitur punctum Z in
Hyperbola cujus umbilici sunt A & B, & axis transversus differentia illa
data. Sit axis ille MN. Cape PM ad MA ut est MN ad AB, & erecto PR
perpendiculari ad AB, demissoq; ZR perpendiculari ad PR, erit ex natura
hujus Hyperbolæ ZR ad AZ ut est MN ad AB. Simili discursu punctum Z
locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt A, C & axis transversus
differentia inter AZ & CZ, duciq; potest QS ipsi AC perpendicularis, ad
quam si ab Hyperbolæ hujus puncto quovis Z demittatur normalis ZS, hæc
fuerit ad AZ ut est differentia inter AZ & CZ ad AC. Dantur ergo rationes
ipsarum ZR & ZS ad AZ, & idcirco datur earundem ZR & ZS ratio ad invicem;
adeoq; rectis RP, SQ concurrentibus in T, locabitur punctum Z in recta TZ
positione data. Eadem Methodo per Hyperbolam tertiam, cujus umbilici sunt B
& C & axis transversus differentia rectarum BZ, CZ, inveniri potest alia
recta in qua punctum Z locatur. Habitis autem duobus locis rectilineis,
habetur punctum quæsitum Z in earum intersectione, _Q. E. I._
_Cas. 2._ Si duæ ex tribus lineis, puta AZ & BZ æquantur, punctum Z
locabitur in perpendiculo bisecante distantiam AB, & locus alius
rectilineus invenietur ut supra. _Q. E. I._
_Cas. 3._ Si omnes tres æquantur, locabitur punctum Z in centro circuli per
puncta A, B, C transeuntis. _Q. E. I._
Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tactionum _Apollonii_ a
_Vieta_ restitutum.
Prop. XXI. Prob. XIII.
[Illustration]
_Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quæ transibit per
puncta data & rectas positione datas continget._
Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, & inveniendus sit umbilicus
alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum ST, & produc idem ad Y, ut sit
TY æqualis ST, & erit YH æqualis axi transverso. Junge SP, HP & erit SP
differentia inter HP & axem transversum. Hoc modo si dentur plures
tangentes TR, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas totidem YH,
vel PH, a dictis punctis Y vel P ad umbilicum H ductas, quæ vel æquantur
axibus, vel datis longitudinibus SP differunt ab iisdem, atq; adeo quæ vel
æquantur sibi invicem, vel datas habent differentias; & inde, per Lemma
superius, datur umbilicus ille alter H. Habitis autem umbilicis una cum
axis longitudine (quæ vel est YH, vel si Trajectoria Ellipsis est, PH + SP;
sin Hyperbola PH - SP) habetur Trajectoria. _Q. E. I._
_Scholium._
[Illustration]
Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C,
D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD
ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, inq; GS
infinite producta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A
vertex, & Aa axis transversus Trajectoriæ: quæ, perinde ut GA minor,
æqualis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola;
puncto a in primo casu cadente ad eandem partem lineæ GK cum puncto A; in
secundo casu abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem
lineæ GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC
ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA.
Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo
puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectæ
omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductæ, sint ad perpendicula
a punctis iisdem ad rectam GK demissa in data illa ratione.
Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit
Clarissimus Geometra _De la Hire_, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop. XXV.
* * * * *
SECT. V.
_Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur._
_Lemma XVII._
[Illustration]
_Si a datæ conicæ sectionis puncto quovis P, ad Trapezii alicujus ABCD,
in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta AB,
CD, AC, DB, totidem rectæ PQ, PR, PS, PT in datis angulis ducantur,
singulæ ad singula: rectangulum ductarum ad opposita duo latera PQ ×
PR, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita PS × PT in
data ratione._
_Cas. 1._ Ponamus imprimis lineas ad opposita latera ductas parallelas esse
alterutri reliquorum laterum, puta PQ & PR lateri AC, & PS ac PT lateri AB.
Sintq; insuper latera duo ex oppositis, puta AC & BD, parallela. Et recta
quæ bisecat parallela illa latera erit una ex diametris Conicæ sectionis, &
bisecabit etiam RQ. Sit O punctum in quo RQ bisecatur, & erit PO ordinatim
applicata ad diametrum illam. Produc PO ad K ut sit OK æqualis PO, & erit
OK ordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta A,
B, P & K sint ad Conicam sectionem, & PR secet AB in dato angulo, erit (per
Prop. 17 & 18 Lib. III _Apollonii_) rectangulum PQK ad rectangulum AQB in
data ratione. Sed QK & PR æquales sunt, utpote æqualium OK, OP, & OQ, OR
differentiæ, & inde etiam rectangula PQK & PQ × PR æqualia sunt; atq; adeo
rectangulum PQ × PR est ad rectangulum AQB, hoc est ad rectangulum PS × PT
in data ratione. _Q. E. D._
[Illustration]
_Cas. 2._ Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela.
Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectæ ST in t, tum Conicæ sectioni
in d. Junge Cd secantem PQ in r, & ipsi PQ parallelam age DM secantem Cd in
M & AB in N. Jam ob similia triangula BTt, DBN, est Bt seu PQ ad Tt ut DN
ad NB. Sic & Rr est ad AQ seu PS ut DM ad AN. Ergo ducendo antecedentes in
antecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulum PQ in Rr est ad
rectangulum Tt in PS, ita rectangulum NDM est ad rectangulum ANB, & (per
Cas. 1) ita rectangulum QPr est ad rectangulum SPt, ac divisim ita
rectangulum QPR est ad rectangulum PS × PT. _Q. E. D._
[Illustration]
_Cas. 3._ Ponamus deniq; lineas quatuor PQ, PR, PS, PT non esse parallelas
lateribus AC, AB, sed ad ea utcunq; inclinatas. Earum vice age Pq, Pr
parallelas ipsi AC; & Ps, Pt parallelas ipsi AB; & propter datos angulos
triangulorum PQq, PRr, PSs, PTt, dabuntur rationes PQ ad Pq, PR ad Pr, PS
ad Ps & PT ad Pt, atq; adeo rationes compositæ PQ in PR ad Pq in Pr, & PS
in PT ad Ps in Pt. Sed per superius demonstrata, ratio Pq in Pr ad Ps in Pt
data est: Ergo & ratio PQ in PR ad PS in PT. _Q. E. D._
_Lemma XVIII._
_Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera
Trapezii PQ × PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera PS ×
PT in data ratione; punctum P, a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam
sectionem circa Trapezium descriptam._
[Illustration]
Per puncta A, B, C, D & aliquod infinitorum punctorum P, puta p, concipe
Conicam sectionem describi: dico punctum P hanc semper tangere. Si negas,
junge AP secantem hanc Conicam sectionem alibi quam in P si fieri potest,
puta in b. Ergo si ab his punctis p & b ducantur in datis angulis ad latera
Trapezii rectæ pq, pr, ps, pt & bk, b[r], b[s], bd; erit ut bk × b[r] ad bd
× b[s] ita (per Lemma XVII) pq × pr ad ps × pt & ita (per hypoth.) PQ × PR
ad PS × PT. Est & propter similitudinem Trapeziorum bkA[s], PQAS, ut bk ad
b[s] ita PQ ad PS. Quare applicando terminos prioris propositionis ad
terminos correspondentes hujus, erit b[r] ad bd ut PR ad PT. Ergo Trapezia
æquiangula D[r]bd, DRPT similia sunt, & eorum diagonales Db, DP propterea
coincidunt. Incidit itaq; b in intersectionem rectarum AP, DP adeoq;
coincidit cum puncto P. Quare punctum P, ubicunq; sumatur, incidit in
assignatam Conicam sectionem. _Q. E. D._
_Corol._ Hinc si rectæ tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem
positione datas rectas AB, CD, AC, singulæ ad singulas, in datis angulis
ducantur, sitq; rectangulum sub duabus ductis PQ × PR ad quadratum tertii,
PS quad. in data ratione: punctum P, a quibus rectæ ducuntur, locabitur in
sectione Conica quæ tangit lineas AB, CD in A & C & contra. Nam coeat linea
BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; dein coeat etiam linea
PT cum linea PS: & rectangulum PS × PT evadet PS quad. rectæq; AB, CD quæ
curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis
coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent.
_Scholium._
Nomen Conicæ sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam
rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis basi parallela
includatur. Nam si punctum p incidit in rectam, qua quævis ex punctis
quatuor A, B, C, D junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas,
quarum una est recta illa in quam punctum p incidit, & altera recta qua
alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi
simul sumpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuor PQ, PR, PS, PT
ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis
æqualibus, sitq; rectangulum sub duabus ductis PS × PR æquale rectangulo
sub duabus aliis PS × PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineæ
quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ ×
PR sit ad rectangulum sub aliis duabus PS × PT ut rectangulum sub sinubus
angulorum S, T, in quibus duæ ultimæ PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub
sinubus angulorum Q, R, in quibus duæ primæ PQ, PR ducuntur. Cæteris in
casibus Locus puncti P erit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur
Sectiones Conicæ. Vice autem Trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum
cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e
punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire in infinitum, eoq;
pacto latera figuræ quæ ad puncta illa convergunt, evadere parallela: quo
in casu sectio conica transibit per cætera puncta, & in plagas parallelarum
abibit in infinitum.
Lemma XIX.
[Illustration]
_Invenire punctum P, a quo si rectæ quatuor PQ, PR, PS, PT ad alias
totidem positione datas rectas AB, CD, AC, BD singulæ ad singulas in
datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis, PQ × PR, sit ad
rectangulum sub aliis duabus, PS × PT, in data ratione._
Lineæ AB, CD, ad quas rectæ duæ PQ, PR, unum rectangulorum continentes
ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione datis lineis in punctis A,
B, C, D. Ab eorum aliquo A age rectam quamlibet AH, in qua velis punctum P
reperiri. Secet ea lineas oppositas BD, CD, nimirum BD in H & CD in I, & ob
datos omnes angulos figuræ, dabuntur rationes PQ ad PA & PA ad PS, adeoq;
ratio PQ ad PS. Auferendo hanc a data ratione PQ × PR ad PS × PT, dabitur
ratio PR ad PT, & addendo datas rationes PI ad PR, & PT ad PH dabitur ratio
PI ad PH atq; adeo punctum P. _Q. E. I._
_Corol. 1._ Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punctum quodvis D
tangens duci potest. Nam chorda PD ubi puncta P ac D conveniunt, hoc est,
ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio
evanescentium IP & PH invenietur ut supra. Ipsi igitur AD duc parallelam
CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E, & DE tangens
erit, propterea quod CF & evanescens IH parallelæ sunt, & in E & P
similiter sectæ.
[Illustration]
_Corol. 2._ Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri potest. Per
quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE, & per aliud
quodvis punctum B duc tangenti parallelam BF occurrentem Loco in F.
Invenietur autem punctum F per Lemma superius. Biseca BF in G, & acta AG
diameter erit ad quam BG & FG ordinatim applicantur. Hæc AG occurrat Loco
in H, & erit AH latus transversum, ad quod latus rectum est ut BGq. ad AGH.
Si AG nullibi occurrit Loco, linea AH existente infinita, Locus erit
Parabola & latus rectum ejus BGq. ÷ AG. Sin ea alicubi occurrit, Locus
Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad easdem partes ipsius G: &
Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte angulus AGB rectus sit &
insuper BG quad. æquale rectangulo AGH, quo in casu circulus habebitur.
Atq; ita Problematis veterum de quatuor lineis ab _Euclide_ incæpti & ab
_Apollonio_ continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem
Veteres quærebant, in hoc Corollario exhibetur.
Lemma XX.
_Si parallelogrammum quodvis ASPQ angulis duobus oppositis A & P tangit
sectionem quamvis Conicam in punctis A & P, & lateribus unius angulorum
illorum infinite productis AQ, AS occurrit eidem sectioni Conicæ in B &
C; a punctis autem occursuum B & C ad quintum quodvis sectionis Conicæ
punctum D agantur rectæ duæ BD, CD occurrentes alteris duobus infinite
productis parallelogrammi lateribus PS, PQ in T & R: erunt semper
abscissæ laterum partes PR & PT ad invicem in data ratione. Et contra,
si partes illæ abscissæ sunt ad invicem in data ratione, punctum D
tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor A, B, P, C transeuntem._
[Illustration]
_Cas. 1._ Jungantur BP, CP & a puncto D agantur rectæ duæ DG, DE, quarum
prior DG ipsi AB parallela sit & occurrat PB, PQ, CA in H, I, G; altera DE
parallela sit ipsi AC & occurrat PC, PS, AB in F, K, E: & erit (per Lemma
XVII.) rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH in ratione data. Sed est
PQ ad DE seu IQ, ut PB ad HB, adeoq; ut PT ad DH; & vicissim PQ ad PT ut DE
ad DH. Est & PR ad DF ut RC ad DC, adeoq; ut IG vel PS ad DG, & vicissim PR
ad PS ut DF ad DG; & conjunctis rationibus fit rectangulum PQ × PR ad
rectangulum PS × PT ut rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH, atq;
adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT datur.
_Q. E. D._
_Cas. 2._ Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invicem, tunc simili
ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE × DF ad rectangulum DG
× DH in ratione data, adeoq; punctum D (per Lemma XVIII.) contingere
Conicam sectionem transeuntem per puncta A, B, P, C. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si agatur BC secans PQ in r, & in PT capiatur Pt in
ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens Conicæ sectionis ad
punctum B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B ita ut, chorda BD
evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt.
_Corol. 2._ Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis
punctum D conveniant BD, CD erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR
ad PT ut Pr ad Pt, convenient BD, CD ad Conicæ sectionis punctum aliquod D.
_Corol. 3._ Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus
quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duæ Conicæ sectiones per
quinq; puncta A, B, C, D, P, easq; secet recta BD in punctis D, d, & ipsam
PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut P[r] ad PT, hoc est, PR & P[r]
sibi invicem æquantur, contra Hypothesin.
Lemma XXI.
[Illustration]
_Si recta duæ mobiles & infinitæ BM, CM per data puncta B, C, ceu polos
ductæ, concursu suo M describant tertiam positione datam rectam MN; &
aliæ duæ infinitæ rectæ BD, CD cum prioribus duabus ad puncta illa data
B, C, datos angulos MBD, MCD efficientes ducantur; dico quod hæ duæ BD,
CD concursu suo D describent sectionem Conicam. Et vice versa, si rectæ
BD, CD concursu suo D describant Sectionem Conicam per puncta B, C, A
transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod A,
cum alteræ duæ BM, CM coincidunt cum linea BC, punctum M continget
rectam positione datam._
Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum
N, incidat punctum mobile D in immotum P. Junge CN, BN, CP, BP, & a puncto
P age rectas PT, PR occurrentes ipsis BD, CD in T & R, & facientes angulum
BPT æqualem angulo BNM & angulum CPR æqualem angulo CNM. Cum ergo (ex
Hypothesi) æquales sint anguli MBD, NBP, ut & anguli MCD, NCP: aufer
communes NBD & MCP, & restabunt æquales NBM & PBT, NCM & PCR: adeoq;
triangula NBM, PBT similia sunt, ut & triangula NCM, PCR. Quare PT est ad
NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem
ad NM, proindeq; datam rationem inter se, atq; adeo, per Lemma XX, punctum
P (perpetuus rectarum mobilum BT & CR concursus) contingit sectionem
Conicam. _Q. E. D._
Et contra, si punctum D contingit sectionem Conicam transeuntem per puncta
B, C, A, & ubi rectæ BM, CM coincidunt cum recta BC, punctum illud D
incidit in aliquod sectionis punctum A; ubi vero punctum D incidit
successive in alia duo quævis sectionis puncta p, P, punctum mobile M
incidit successive in puncta immobilia n, N: per eadem n, N agatur recta
nN, & hæc erit Locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, si fieri
potest, versetur punctum M in linea aliqua curva. Tanget ergo punctum D
sectionem Conicam per puncta quinq; C, p, P, B, A, transeuntem, ubi punctum
M perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam
punctum D sectionem Conicam per eadem quinq; puncta C, p, P, B, A,
transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duæ
sectiones Conicæ transibunt per eadem quinq; puncta, contra Corol. 3. Lem.
XX. Igitur punctum M versari in linea curva absurdum est. _Q. E. D._
Prop. XXII. Prob. XIV.
_Trajectoriam per data quinq; puncta describere._
[Illustration]
Dentur puncta quinq; A, B, C, D, P. Ab eorum aliquo A ad alia duo quævis B,
C, quæ poli nominentur, age rectas AB, AC hisq; parallelas TPS, PRQ per
punctum quartum P. Deinde a polis duobus B, C age per punctum quintum D
infinitas duas BDT, CRD, novissime ductis TPS, PRQ (priorem priori &
posteriorem posteriori) occurrentes in T & R. Deniq; de rectis PT, PR, acta
recta tr ipsi TR parallela, abscinde quasvis Pt, Pr ipsis PT, PR
proportionales, & si per earum terminos t, r & polos B, C actæ Bt, Cr
concurrant in d, locabitur punctum illud d in Trajectoria quæsita. Nam
punctum illud d (per Lem. XX) versatur in Conica Sectione per puncta
quatuor A, B, P, C transeunte; & lineis Rr, Tt evanescentibus, coit punctum
d cum puncto D. Transit ergo sectio Conica per puncta quinq; A, B, C, D, P.
_Q. E. D._
_Idem aliter._
[Illustration]
E punctis datis junge tria quævis A, B, C, & circum duo eorum B, C ceu
polos, rotando angulos magnitudine datos ABC, ACB, applicentur crura BA, CA
primo ad punctum D deinde ad punctum P, & notentur puncta M, N in quibus
altera crura BL, CL casu utroq; se decussant. Agatur recta infinita MN, &
rotentur anguli illi mobiles circum polos suos B, C, ea lege ut crurum BL,
CL vel BM, CM intersectio, quæ jam sit m, incidat semper in rectam illam
infinitam MN, & crurum BA, CA, vel BD, CD intersectio, quæ jam sit d,
Trajectoriam quæsitam PADdB delineabit. Nam punctum d per Lem. XXI
continget sectionem Conicam per puncta B, C transeuntem & ubi punctum m
accedit ad puncta L, M, N, punctum d (per constructionem) accedet ad puncta
A, D, P. Describetur itaq; sectio Conica transiens per puncta quinq; A, B,
C, D, P. _Q. E. F._
_Corol. 1._ Hinc rectæ expedite duci possunt quæ trajectoriam in punctis
quibusvis datis B, C tangent. In casu utrovis accedat punctum d ad punctum
C & recta Cd evadet tangens quæsita.
_Corol. 2._ Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & latera recta
inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX.
_Schol._
Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea si
opus est producta, capiendo Bp ad BP ut est PR ad PT, & per p agendo rectam
infinitam p[D] ipsi SPT parallelam, inq; ea capiendo semper p[D] æqualem
Pr, & agendo rectas B[D], Cr concurrentes in d. Nam cum sint Pr ad Pt, PR
ad PT, pB ad PB, p[D] ad Pt in eadem ratione, erunt p[D] & Pr semper
æquales. Hac methodo puncta Trajectoriæ inveniuntur expeditissime, nisi
mavis Curvam, ut in casu secundo, describere Mechanice.
Prop. XXIII. Prob. XV.
_Trajectoriam describere quæ per data quatuor puncta transibit, &
rectam continget positione datam._
_Cas. 1._ Dentur tangens HB, punctum contactus B, & alia tria puncta C, D,
P. Junge BC, & agendo PS parallelam BH, & PQ parallelam BC, comple
parallelogrammum BSPQ. Age BD secantem SP in T, & CD secantem PQ in R.
Deniq; agendo quamvis tr ipsi TR parallelam, de PQ, PS abscinde Pr, Pt
ipsis PR, PT proportionales respective; & actarum Cr, Bt concursus d (per
Corol. 2. Lem. XX) incidet semper in Trajectoriam describendam.
[Illustration]
_Idem aliter._
Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBH circa polum B, tum radius
quilibet rectilineus & utrinq; productus DC circa polum C. Notentur puncta
M, N in quibus anguli crus BC secat radium illum ubi crus alterum BH
concurrit cum eodem radio in punctis D & P. Deinde ad actam infinitam MN
concurrant perpetuo radius ille CP vel CD & anguli crus CB, & cruris
alterius BH concursus cum radio delineabit Trajectoriam quæsitam.
[Illustration]
[Illustration]
Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum A ad
punctum B, lineæ CA & CB coincident, & linea AB in ultimo suo situ fiet
tangens BH, atq; adeo constructiones ibi positæ evadent eædem cum
constructionibus hic descriptis. Delineabit igitur cruris BH concursus cum
radio sectionem Conicam per puncta C, D, P transeuntem, & rectam BH
tangentem in puncto B. _Q. E. F._
_Cas. 2._ Dentur puncta quatuor B, C, D, P extra tangentem HI sita. Junge
bina BD, CP concurrentia in G, tangentiq; occurrentia in H & I. Secetur
tangens in A, ita ut sit HA ad AI, ut est rectangulum sub media
proportionali inter BH & HD & media proportionali inter CG & GP, ad
rectangulum sub media proportionali inter PI & IC & media proportionali
inter DG & GB, & erit A punctum contactus. Nam si rectæ PI parallela HX
trajectoriam secet in punctis quibusvis X & Y: erit (ex Conicis) HA quad.
ad AI quad. ut rectangulum XHY ad rectangulum BHD (seu rectangulum CGP ad
rectangulum DGB) & rectangulum BHD ad rectangulum PIC conjunctim. Invento
autem contactus puncto A, describetur Trajectoria ut in casu primo.
_Q. E. F._ Capi autem potest punctum A vel inter puncta H & I, vel extra;
& perinde Trajectoria dupliciter describi.
Prop. XXIV. Prob. XVI.
_Trajectoriam describere quæ transibit per data tria puncta & rectas
duas positione datas continget._
[Illustration]
Dentur tangentes HI, KL & puncta B, C, D. Age BD tangentibus occurrentem in
punctis H, K & CD tangentibus occurrentem in punctis I, L. Actas ita seca
in R & S, ut sit HR ad KR ut est media proportionalis inter BH & HD ad
mediam proportionalem inter BK & KD; & IS ad LS ut est media proportionalis
inter CI & ID ad mediam proportionalem inter CL & LD. Age RS secantem
tangentes in A & P, & erunt A & P puncta contactus. Nam si A & P sint
Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, & per punctorum H, I, K, L
quodvis I agatur recta IY tangenti KL parallela & occurrens curvæ in X & Y,
& in ea sumatur IZ media proportionalis inter IX & IY: erit, ex Conicis,
rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad LP quad. ut rectangulum CID ad
rectangulum CLD; id est (per constructionem) ut SI quad. ad SL quad. atq;
adeo IZ ad LP ut SI ad SL. Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta. Porro
tangentibus concurrentibus in G, erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ
quad.) ad IA quad. ut GP quad. ad GA quad., adeoq; IZ ad IA ut GP ad GA.
Jacent ergo puncta P, Z & A in una recta, adeoq; puncta S, P & A sunt in
una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una
recta. Jacent igitur puncta contactus A & P in recta SR. Hisce autem
inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris.
_Q. E. F._
Lemma XXII.
_Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare._
[Illustration]
Transmutanda sit figura quævis HGI. Ducantur pro lubitu rectæ duæ parallelæ
AO, BL tertiam quamvis positione datam AB secantes in A & B, & a figuræ
puncto quovis G, ad rectam AB ducatur GD, ipsi OA parallela. Deinde a
puncto aliquo O in linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD, ipsi BL
occurrens in d; & a puncto occursus erigatur recta gd, datum quemvis
angulum cum recta BL continens, atq; eam habens rationem ad Od quam habet
GD ad OD; & erit g punctum in figura nova hgi puncto G respondens. Eadem
ratione puncta singula figuræ primæ dabunt puncta totidem figuræ novæ.
Concipe igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figuræ
primæ, & punctum g motu itidem continuo percurret puncta omnia figuræ novæ
& eandem describet. Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg
ordinatam novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD
radium abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo parallelogrammum
OABa completur) radium ordinatum novum.
Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g
tanget etiam lineam rectam positione datam. Si punctum G tangit Conicam
sectionem, punctum g tanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus
hic circulum annumero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis
Analytici, punctum g tanget lineam tertii itidem ordinis; & sic de curvis
lineis superiorum ordinum: Lineæ duæ erunt ejusdem semper ordinis Analytici
quas puncta G, g tangunt. Etenim ut est ad ad OA ita sunt Od ad OD, dg ad
DG, & AB ad AD; adeoq; AD æqualis est OA × AB ÷ ad & DG æqualis est OA × dg
÷ ad. Jam si punctum D tangit rectam lineam, atq; adeo in æquatione quavis,
qua relatio inter abscissam AD & ordinatam DG habetur, indeterminatæ illæ
AD & DG ad unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac æquatione
OA × AB ÷ ad pro AD, & OA × dg ÷ ad pro DG, producetur æquatio nova, in qua
abscissa nova ad & ordinata noua dg ad unicam tantum dimensionem ascendent,
atq; adeo quæ designat lineam rectam. Sin AD & DG (vel earum alterutra)
ascendebant ad duas dimensiones in æquatione prima, ascendent itidem ad &
dg ad duas in æquatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus
dimensionibus. Indeterminatæ ad, dg in æquatione secunda & AD, DG in prima
ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineæ, quas
puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici.
Dico præterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in figura prima;
hæc recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si
Curvæ puncta quævis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima,
puncta eadem translata coibunt in figura nova, atq; adeo rectæ, quibus hæc
puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utraq;.
Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico.
Sed brevitati consulo.
Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit rectarum
intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas
ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta,
tangentes & aliæ rectæ quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc
Lemma solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas
in simpliciores. Nam rectæ quævis convergentes transmutantur in parallelas,
adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quamvis rectam, quæ per
concursum convergentium transit; id adeo quia concursus ille hoc pacto abit
in infinitum, lineæ autem parallelæ sunt quæ ad punctum infinite distans
tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas
operationes transmutetur hæc figura in figuram primam, habebitur Solutio
quæsita.
Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum. Nam quoties
duæ sectiones conicæ obvenerint, quarum intersectione Problema solvi
potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio
Conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam &
circulum.
Prop. XXV. Prob. XVII.
_Trajectoriam describere quæ per data duo puncta transibit & rectas
tres continget positione datas._
[Illustration]
Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum
tangentis tertiæ cum recta illa, quæ per puncta duo data transit, age
rectam infinitam; eaq; adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur
figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illæ
duæ evadent parallelæ, & tangens tertia fiet parallela rectæ per puncta duo
transeunti. Sunto hi, kl tangentes duæ parallelæ, ik tangens tertia, & hl
recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, per quæ Conica sectio
in hac figura nova transire debet, & parallelogrammum hikl complens.
Secentur rectæ hi, ik, kl in c, d & e, ita ut sit hc ad latus quadratum
rectanguli ahb, ic ad id, & ke ad kd ut est summa rectarum hi & kl ad
summam trium linearum quarum prima est recta ik, & alteræ duæ sunt latera
quadrata rectangulorum ahb & alb: Et erunt c, d, e puncta contactus.
Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad
id quadratum, & ke quadratum ad kd quadratum, & el quadratum ad alb
rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb,
ic ad id, ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata
illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad
omnes consequentes, quæ sunt latus quadratum rectanguli ahb & recta ik &
latus quadratum rectanguli alb. Habentur igitur ex data illa ratione puncta
contactus c, d, e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis
novissimi transferantur hæc puncta in figuram primam & ibi, per casum
primum Problematis XIV, describetur Trajectoria. _Q. E. F._ Cæterum
perinde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, l, vel extra, debent
puncta c, d, e vel inter puncta h, i, k, l capi, vel extra. Si punctorum a,
b alterutrum cadit inter puncta h, l, & alterum extra, Problema impossibile
est.
Prop. XXVI. Prob. XVIII.
_Trajectoriam describere quæ transibit per punctum datum & rectas
quatuor positione datas continget._
Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem
communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio
ordinato primo adhibita, transmutetur figura (per Lem. XXII) in figuram
novam, & Tangentes binæ, quæ ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent
parallelæ. Sunto illæ hi & kl, ik & hl continentes parallelogrammum hikl.
Sitq; p punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens.
Per figuræ centrum O agatur pq, & existente Oq æquali Op erit q punctum
alterum per quod sectio Conica in hac figura nova transire debet. Per
Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram
primam, & ibi habebuntur puncta duo per quæ Trajectoria describenda est.
Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob. XVII.
_Q. E. F._
Lemma XXIII.
[Illustration]
_Si rectæ duæ positione datæ AC, BD ad data puncta A, B terminentur,
datamq; habeant rationem ad invicem, & recta CD, qua puncta
indeterminata C, D junguntur secetur in ratione data in K: dico quod
punctum K locabitur in recta positione data._
Concurrant enim rectæ AC, BD in E, & in BE capiatur BG ad AE ut est BD ad
AC, sitq; FD æqualis EG, & erit EC ad GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeoq;
in ratione data, & propterea dabitur specie triangulum EFC. Secetur CF in L
in ratione CK ad CD, & dabitur etiam specie triangulum EFL, proindeq;
punctum L locabitur in recta EL positione data. Junge LK, & ob datam FD &
datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic æqualis capiatur EH, & erit ELKH
parallelogrammum. Locatur igitur punctum K in parallelogrammi latere
positione dato HK. _Q. E. D._
Lemma XXIV.
_Si rectæ tres tangant quamcunq; conisectionem, quarum duæ parallelæ
sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus
parallela, sit media proportionalis inter harum segmenta, punctis
contactum & tangenti tertiæ interjecta._
[Illustration]
Sunto AF, GB parallelæ duæ Conisectionem ADB tangentes in A & B; EF recta
tertia Conisectionem tangens in I, & occurrens prioribus tangentibus in F &
G; sitq; CD semidiameter Figuræ tangentibus parallela: Dico quod AF, CD, BG
sunt continue proportionales.
Nam si diametri conjugatæ AB, DM tangenti FG occurrant in E & H, seq; mutuo
secent in C, & compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum
Conicarum, ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC - CA ad CA - CL seu
EA ad AL, & composite EA ad EA + AL seu EL ut EC ad EC + CA seu EB; adeoq;
(ob similitudinem triangulorum EAF, ELI, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad BG.
Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad CH atq;
adeo ex æquo perturbate AF ad CD ut CD ad BG. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si tangentes duæ FG, PQ tangentibus parallelis AF, BG
occurrant in F & G, P & Q, seq; mutuo secent in O, erit (ex æquo
perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divisim ut FP ad GQ, atq; adeo ut FO ad
OG.
_Corol. 2._ Unde etiam rectæ duæ PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductæ,
concurrent ad rectam ACB per centrum figuræ & puncta contactuum A, B
transeuntem.
Lemma XXV.
_Si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant sectionem
quamcunq; Conicam & abscindantur ad tangentem quamvis quintam; sumantur
autem abscisse terminate ad angulos oppositos parallelogrammi: dico
quod abscissa unius lateris ad latus illud, ut pars lateris contermini
inter punctum contactus & latus tertium, ad abscissam lateris hujus
contermini._
[Illustration]
Tangant parallelogrammi MIKL latera quatuor ML, IK, KL, MI sectionem
Conicam in A, B, C, D, & secet tangens quinta FQ hæc latera in F, Q, H & E:
dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ & KH ad KL ut AM ad MF. Nam per
Corollarium Lemmatis superioris, est ME ad EI ut AM seu BK ad BQ, &
componendo ME ad MI ut BK ad KQ. Q. E. D. Item KH ad HL ut BK seu AM ad
AF, & dividendo KH ad KL ut AM ad MF. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc si parallelogrammum IKLM datur, dabitur rectangulum KQ ×
ME, ut & huic æquale rectangulum KH × MF. Æquantur enim rectangula illa ob
similitudinem triangulorum KQH, MFE.
_Corol. 2._ Et si sexta ducatur tangens eq tangentibus KI, MI occurrens in
e & q, rectangulum KQ × ME æquabitur rectangulo Kq × Me, eritq; KQ ad Me ut
Kq ad ME, & divisim ut Qq ad Ee.
_Corol. 3._ Unde etiam si Eq, eQ jungantur & bisecentur, & recta per puncta
bisectionum agatur, transibit hæc per centrum Sectionis Conicæ. Nam cum sit
Qq ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq, eQ, MK;
(per Lemma XXIII) & medium rectæ MK est centrum Sectionis.
Prop. XXVII. Prob. XIX.
[Illustration]
_Trajectoriam describere quæ rectas quinq; positione datas continget._
Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA. Figuræ quadrilateræ sub
quatuor quibusvis contentæ ABFE diagonales AF, BE biseca, & (per Cor. 3.
Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum
Trajectoriæ. Rursus figuræ quadrilateræ BGDF, sub alijs quibusvis quatuor
tangentibus contentæ, diagonales (ut ita dicam) BD, GF biseca, & recta per
puncta bisectionum acta transibit per centrum sectionis. Dabitur ergo
centrum in concursu bisecantium. Sit illud O. Tangenti cuivis BC parallelam
age KL, ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, &
acta KL tanget trajectoriam describendam. Secet hæc tangentes alias quasvis
duas CD, FDE in L & K. Per tangentium non parallelarum CL, FK cum
parallelis CF, KL concursus C & K, F & L age CK, FL concurrentes in R, &
recta OR ducta & producta secabit tangentes parallelas CF, KL in punctis
contactuum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet
alia contactuum puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam
describere. _Q. E. F._
_Schol._
Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti includuntur
in præcedentibus. Nam datis punctis & tangentibus una cum centro, dantur
alia totidem puncta aliæq; tangentes a centro ex altera ejus parte
æqualiter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus
terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus.
Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens
vertetur in Asymptoton, atq; constructiones Problematis XV & Casus primi
Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti
dantur.
[Illustration]
Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos ejus
hac methodo. In constructione & Figura Lemmatis XXI, fac ut angulorum
mobilium PBN, PCN crura BP, CP quorum concursu Trajectoria describebatur
sint sibi invicem parallela, eumq; servantia situm revolvantur circa polos
suos B, C in figura illa. Interea vero describant altera angulorum illorum
crura CN, BN concursu suo K vel k, circulum IBKGC. Sit circuli hujus
centrum O. Ab hoc centro ad Regulam MN, ad quam altera illa crura CN, BN
interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demitte normalem OH
circulo occurrentem in K & L. Et ubi crura illa altera CK, BK concurrant ad
punctum istud K quod Regulæ proprius est, crura prima CP, BP parallela
erunt axi majori & perpendicularia minori; & contrarium eveniet si crura
eadem concurrunt ad punctum remotius L. Unde si detur Trajectoriæ centrum,
dabuntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.
Axium vero quadrata sunt ad invicem ut KH ad LH, & inde facile est
Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere. Nam si duo ex
punctis datis constituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK,
PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio OH ad OK, centroq; O &
intervallo OH describendo circulum, & per punctum quartum agendo rectam quæ
circulum illum tangat, dabitur regula MN cujus ope Trajectoria describatur.
Unde etiam vicissim Trapezium specie datum (si casus quidam impossibiles
excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.
Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriæ specie datæ, datis punctis &
tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per
punctum quodvis positione datum ducatur, quæ datam Conisectionem in punctis
duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum
bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, atq;
axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.
Lemma XXVI.
[Illustration]
_Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem
positione datas, quæ non sunt omnes parallelæ, singulos ad singulas
ponere._
Dantur positione tres rectæ infinitæ AB, AC, BC, & oportet triangulum DEF
ita locare, ut angulus ejus D lineam AB, angulus E lineam AC, & angulus F
lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE,
DGF, EMF, quæ capiant angulos angulis BAC, ABC, ACB æquales respective.
Describantur autem hæc segmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ut literæ
DRED eodem ordine cum literis BACB, literæ DGFD eodem cum literis ABCA, &
literæ EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur hæc
[Illustration] segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in
G, sintq; centra eorum P & Q. Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad
PQ, & centro G, intervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum
DGE in a. Jungatur tum aD secans circulum secundum DFG in b, tum aE secans
circulum tertium GEc in c. Et compleatur figura ABCdef similis & æqualis
figuræ abcDEF. Dico factum.
Agatur enim Fc ipsi aD occurrens in n. Jungantur aG, bG, PD, QD &
producatur PQ ad R. Ex constructione est angulus EaD æqualis angulo CAB, &
angulus EcF æqualis angulo ACB, adeoq; triangulum anc triangulo ABC
æquiangulum. Ergo angulus anc seu FnD angulo ABC, adeoq; angulo FbD æqualis
est, & propterea punctum n incidit in punctum b. Porro angulus GPQ, qui
dimidius est anguli ad centrum GPD, æqualis est angulo ad circumferentiam
GaD; & angulus GQR, qui dimidius est complementi anguli ad centrum GQD,
æqualis est angulo ad circumferentiam GbD, adeoq; eorum complementa PQG,
abG æquantur, suntq; ideo triangula GPQ, Gab similia, & Ga est ad ab ut GP
ad PQ; id est (ex constructione) ut Ga ad AB. Æquantur itaq; ab & AB, &
propterea triangula abc, ABC, quæ modo similia esse probavimus, sunt etiam
æqualia. Unde cum tangant insuper trianguli DEF anguli D, E, F trianguli
abc latera ab, ac, bc respective, compleri potest figura ABCdef figuræ
abcDEF similis & æqualis, atq; eam complendo solvetur Problema.
_Q. E. F._
_Corol._ Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datæ rectis tribus
positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus EF
accedente, & lateribus DE, DF in directum positis, mutari in lineam rectam,
cujus pars data DE, rectis positione datis AB, AC, & pars data DF rectis
positione datis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem
præcedentem ad hunc casum solvetur Problema.
Prop. XXVIII. Prob. XX.
_Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus partes datæ
rectis tribus positione datis interjacebunt._
Describenda sit Trajectoria quæ sit similis & æqualis lineæ curvæ DEF,
quæq; a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in partes datis hujus
partibus DE & EF similes & æquales secabitur.
[Illustration]
Age rectas DE, EF, DF, & trianguli hujus DEF pone angulos D, E, F ad rectas
illas positione datas: (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum describe
Trajectoriam curvæ DEF similem & æqualem. _Q. E. F._
Lemma XXVII.
_Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor
positione datas (quæ neq; omnes parallelæ sunt, neq; ad commune punctum
convergunt) singuli ad singulas consistent._
[Illustration]
Dentur positione rectæ quatuor ABC, AD, BD, CE, quarum prima secet secundam
in A, tertiam in B, & quartam in C: & describendum sit Trapezium fghi quod
sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f, angulo dato F æqualis, tangat
rectam ABC cæteriq; anguli g, h, i cæteris angulis datis G, H, I æquales
tangant cæteras lineas AD, BD, CE respective. Jungatur FH, & super FG, FH,
FI describantur totidem circulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum
FSG capiat angulum æqualem angulo BAD, secundum FTH capiat angulum æqualem
angulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum æqualem angulo ACE. Describi
autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF
idem sit ordo circularis qui literarum BADB, utq; literæ FTHF eodem ordine
cum literis CBEC, & literæ FVIF eodem cum literis ACEA in orbem redeant.
Compleantur segmenta in circulos, sitq; P centrum circuli primi FSG, & Q
centrum secundi FTH. Jungatur & utrinq; producatur PQ, & in ea capiatur QR
in ea ratione ad PQ quam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas partes
puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo circularis atq; literarum A, B,
C: centroq; R & intervallo RF describatur circulus quartus FNc secans
circulum tertium FVI in c. Jungatur Fc secans circulum primum in a &
secundum in b. Agantur aG, bH, cI, & figuræ abcFGHI similis constituatur
figura ABCfghi: Eritq; Trapezium fghi illud ipsum quod constituere
oportuit.
Secent enim circuli duo primi FSG, FTH se mutuo in K. Jungantur PK, QK, RK,
aK, bK, cK & producatur QP ad L. Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcK,
sunt semisses angulorum FPK, FQK, FRK ad centra, adeoq; angulorum illorum
dimidiis LPK, LQK, LRK æquales. Est ergo figura PQRK figuræ abcK æquiangula
& similis, & propterea ab est ad bc ut PQ ad QR, id est ut AB ad BC.
Angulis insuper FaG, FbH, FcI æquantur fAg, fBh, fCi per constructionem.
Ergo figuræ abcFGHI figura similis ABCfghi compleri potest. Quo facto
Trapezium fghi constituetur simile Trapezio FGHI & angulis suis f, g, h, i
tanget rectas AB, AD, BD, CE. _Q. E. F._
_Corol._ Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione
datis dato ordine interjectæ, datam habebunt proportionem ad invicem.
Augeantur anguli FGH, GHI usq; eo, ut rectæ FG, GH, HI in directum jaceant,
& in hoc casu construendo Problema, ducetur recta fghi cujus partes fg, gh,
hi, rectis quatuor positione datis AB & AD, AD & BD, BD & CE interjectæ,
erunt ad invicem ut lineæ FG, GH, HI, eundemq; servabunt ordinem inter se.
Idem vero sic fit expeditius.
Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad BD ut
GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectæ CE in i. Producatur iL ad M, ut sit
LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectæq; AD
occurrens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.
[Illustration]
Secet enim Mg rectam AB in Q, & AD rectam KL in S, & agatur AP, quæ sit
ipsi BD parallela & occurrat iL in P, & erunt Mg ad Lh (Mi ad Li, gi ad hi,
AK ad BK) & AP ad BL in eadem ratione. Secetur DL in R ut sit DL ad RL in
eadem illa ratione, & ob proportionales gS ad gM, AS ad AP & DS ad DL, erit
ex æquo ut gS ad Lh ita AS ad BL & DS ad RL; & mixtim, BL - RL ad Lh - BL
ut AS - DS ad gS - AS. Id est BR ad Bh ut AD ad Ag, adeoq; ut BD ad gQ. Et
vicissim BR ad BD ut Bh ad gQ seu fh ad fg. Sed ex constructione est BR ad
BD ut FH ad FG. Ergo fh est ad fg ut FH ad FG. Cum igitur sit etiam ig ad
ih ut Mi ad Li, id est, ut IG ad IH, patet lineas FI, fi in g & h, G & H
similiter sectas esse. _Q. E. F._
In constructione Corollarii hujus postquam ducitur LK secans CE in i,
producere licet iE ad V, ut sit EV ad iE ut FH ad HI, & agere Vf parallelam
ipsi BD. Eodem recidit si centro i, intervallo IH describatur circulus
secans BD in X, producatur iX ad Y, ut sit iY æqualis IF, & agatur Yf ipsi
BD parallela.
Prop. XXIX. Prob. XIX.
_Trajectoriam specie datam describere, quæ a rectis quatuor positione
datis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas._
[Illustration]
Describenda sit Trajectoria fghi, quæ similis sit lineæ curvæ FGHI, & cujus
partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes & proportionales,
rectis AB & AD, AD & BD, BD & EC positione datis, prima primis, secunda
secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectis FG, GH, HI, FI,
describatur Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile & cujus anguli f,
g, h, i tangant rectas illas positione datas AB, AD, BD, CE singuli
singulas dicto ordine. Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium
describatur Trajectoria curvæ lineæ FGHI consimilis.
_Scholium._
[Illustration]
Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI
produc GF ad V, jungeq; FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, DAL
æquales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde aguntur KM, LN,
quarum KM constituat angulum AKM æqualem angulo GHI, sitq; ad AK ut est HI
ad GH; & LN constituat angulum ALN æqualem angulo FHI, sitq; ad AL ut HI ad
FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum AD, AK, AL, ut
literæ CAKMC, ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, &
acta MN occurrat rectæ CE in i. Fac angulum iEP æqualem angulo IGF, sitq;
PE ad Ei ut FG ad GI; & per P agatur QPf, quæ cum recta AED contineat
angulum PQE æqualem angulo FIG, rectæq; AB occurrat in f, & jungatur fi.
Agantur autem PE & PQ ad eas partes linearum CE, PE, ut literarum PEiP &
PEQP idem sit ordo circularis qui literarum FGHIF, & si super linea fi
eodem quoq; literarum ordine constituatur Trapezium fghi Trapezio FGHI
simile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema.
Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum orbibus
inventis determinemus.
* * * * *
SECT. VI.
_De inventione motuum in Orbibus datis._
Prop. XXX. Prob. XXII.
[Illustration]
_Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad
tempus assignatum._
Sit S umbilicus & A vertex principalis Parabolæ, sitq; 4AS × M area
Parabolica APS, quæ radio SP, vel post excessum corporis de vertice
descripta fuit, vel ante appulsum ejus ad verticem describenda est.
Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. Biseca AS in G, erigeq;
perpendiculum GH æquale 3M, & circulus centro H, intervallo HS descriptus
secabit Parabolam in loco quæsito P. Nam demissa ad axem perpendiculari PO,
est HGq. + GSq. (= HSq. = HPq. = GOq. + {PO - HG}q.) = GOq. + HGq. - 2HG ×
PO + POq. Et deleto utrinq; HGq. fiet GSq. = GOq. - 2HG × PO + POq. seu 2HG
× PO (= GOq. + POq. - GSq. = AOq. - 2GAO + POq.) = AOq. + ¾POq. Pro AOq.
scribe AO × POq. ÷ 4AS, & applicatis terminis omnibus ad 3PO, ductisq; in
2AS, fiet 4/3GH × AS (= 1/6AO × PO + ½AS × PO = {AO + 3AS} ÷ 6 × PO = {4AO
- 3SO} ÷ 6 × PO = areæ APO - SPO) = areæ APS. Sed GH erat 3M, & inde 4/3HG
× AS est 4AS × M. Ergo area APS æqualis est 4AS × M. _Q. E. D._
_Corol. 1._ Hinc GH est ad AS, ut tempus quo corpus descripsit arcum AP ad
tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A & perpendiculum ad axem
ab umbilico S erectum.
_Corol. 2._ Et circulo ASP per corpus movens perpetuo transeunte, velocitas
puncti H est ad velocitatem quam corpus habuit in vertice A, ut 3 ad 8;
adeoq; in ea etiam ratione est linea GH ad lineam rectam quam corpus
tempore motus sui ab A ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice A,
describere posset.
_Corol. 3._ Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus
descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium ejus punctum
erige perpendiculum rectæ GH occurrens in H.
Lemma XXVIII.
_Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa,
possit per æquationes numero terminorum ac dimensionum finitas
generaliter inveniri._
Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur
perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo,
pergatq; semper ea cum velocitate, quæ sit ut rectæ illius intra Ovalem
longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam
si area Oualis per finitam æquationem inveniri potest, invenietur etiam per
eandem æquationem distantia puncti a polo; quæ huic areæ proportionalis
est, adeoq; omnia Spiralis puncta per æquationem finitam inveniri possunt:
& propterea rectæ cujusvis positione datæ intersectio cum spirali inveniri
etiam potest per æquationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta
spiralem secat in punctis numero infinitis, & æquatio, qua intersectio
aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes
radicibus totidem, adeoq; ascendit ad tot dimensiones quot sunt
intersectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus,
intersectio una non invenitur nisi per æquationem duarum dimensionum, qua
intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum
quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter
inveniri nisi per æquationem quatuor dimensionum, qua omnes simul
inveniantur. Nam si intersectiones illæ seorsim quærantur, quoniam eadem
est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquoq; & propterea
eadem semper conclusio, quæ igitur debet omnes intersectiones simul
complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum
Conicarum & curvarum tertiæ potestatis, eo quod sex esse possunt, simul
prodeunt per æquationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum
tertiæ potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per æquationes
dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata
omnia Solida ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa
intersectiones binæ rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per
æquationes duarum dimensionum; ternæ rectarum & curvarum tertiæ potestatis
per æquationes trium, quaternæ rectarum & curvarum quartæ potestatis per
æquationes dimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo intersectiones
numero infinitæ rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem
calculus, requirunt æquationes numero dimensionum & radicum infinitas,
quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam illam secantem
demittatur perpendiculum, & perpendiculum una cum secante revolvatur circa
polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quæq; prima erat seu
proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic
deinceps: nec interea mutabitur æquatio nisi pro mutata magnitudine
quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates
illæ post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, æquatio
redibit ad formam primam, adeoq; una eademq; exhibebit intersectiones
omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi
possunt. Nequit ergo intersectio rectæ & spiralis per æquationem finitam
generaliter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis
imperatis abscissa, possit per talem æquationem generaliter exhiberi.
Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur,
capiatur Ovalis perimetro abscissæ proportionale, probari potest quod
longitudo perimetri nequit per finitam æquationem generaliter exhiberi.
_Corollarium._
Hinc area Ellipseos, quæ radio ab umbilico ad corpus mobile ducto
describitur, non prodit ex dato tempore, per æquationem finitam; &
propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari
nequit. Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per
longitudines æquationibus definitas, id est, per longitudinum rationes
complicatas, determinari possunt; cæterasq; (ut Spirales, Quadratrices,
Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quæ sunt vel non sunt
ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice
rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem
abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.
Prop. XXXI. Prob. XXIII.
_Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad
tempus assignatum._
[Illustration]
Ellipseos APB sit A vertex principalis, S umbilicus, O centrum, sitq; P
corporis locus inveniendus. Produc OA ad G ut sit OG ad OA ut OA ad OS.
Erige perpendiculum GH, centroq; O & intervallo OG describe circulum EFG, &
super regula GH, ceu fundo, progrediatur rota GEF revolvendo circa axem
suum, & interea puncto suo A describendo Trochoidem ALI. Quo facto, cape GK
in ratione ad rotæ perimetrum GEFG, ut est tempus quo corpus progrediendo
ab A descripsit arcum AP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur
perpendiculum KL occurrens Trochoidi in L, & acta LP ipsi KG parallela
occurret Ellipsi in corporis loco quæsito P.
Nam centro O intervallo OA describatur semicirculus AQB, & arcui AQ
occurrat LP producta in Q, junganturq; SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ in F,
& in eandem OQ demittatur perpendiculum SR. Area APS est ut area AQS, id
est, ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut
differentia rectangulorum ½Q × AQ & ½OQ × SR, hoc est, ob datam ½OQ, ut
differentia inter arcum AQ & rectam SR, adeoq; (ob æqualitatem rationum SR
ad sinum arcus AQ, OS ad OA, OA ad OG, AQ ad GF, & divisim AQ - SR ad GF -
sin. arc. AQ) ut GK differentia inter arcum GF & sinum arcus AQ.
_Q. E. D._
_Scholium._
[Illustration]
Cæterum ob difficultatem describendi hanc curvam præstat constructiones
vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos cujusvis APB sit AB
axis major, O centrum, S umbilicus, OD semiaxis minor, & AK dimidium
lateris recti. Secetur AS in G, ut sit AG ad AS ut BO ad BS; & quæratur
longitudo L, quæ sit ad ½GK ut est AO quad. ad rectangulum AS × OD.
Bisecetur OG in C, centroq; C & intervallo CG describatur semicirculus GFO.
Deniq; capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam
habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum quæsitum AP, ad tempus
periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: Ad AO demittatur normalis FE,
& producatur eadem versus F ad usq; N, ut sit EN ad longitudinem L, ut
anguli illius sinus EF ad radium CF; centroq; N & intervallo AN descriptus
circulus secabit Ellipsin in corporis loco quæsito P quam proxime.
Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in
Apside summa B, & completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem
imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima
nascentium sectorum ASP, GCF, & ratio ultima evanescentium BSP & OCF, eadem
est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis P, F & N
incidentibus in loca p, f & n axi AB quam proximis; ob æquales An, pn,
recta nq, quæ ad arcum Ap perpendicularis est, adeoq; concurrit cum axe in
puncto K, bisecat arcum Ap. Proinde est ½Ap ad Gn ut AK ad GK, & Ap ad Gn
ut 2AK ad GK. Est & Gn ad Gf ut EN ad EF, seu L ad CF, id est, ut {GK ×
AOq.} ÷ {2AS × OD} ad CF, seu GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, & ex æquo Ap ad
Gf ut 2AK ad GK + GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, id est, ut AK × AOq. ad AS ×
OD × CF, hoc est, ob æqualia AK × AO × ODq. ut AO × OD ad AS × CF. Proinde
Ap × ½AS est ad Gf × ½GC ut AO × OD × AS ad AS × CF × GC, seu AO × OD ad
CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO × OD ad
CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius.
_Q. E. D._ Argumento prolixiore probari potest analogia ultima in
Sectoribus evanescentibus BSP, OCF: ideoq; locus puncti P prope Apsides
satis accurate inventus est. In quadraturis error quasi quingentesimæ
partis areæ Ellipseos totius vel paulo major obvenire solet: qui tamen
propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem sequentem.
Per puncta G, O, duc arcum circularem GTO justæ magnitudinis; dein produc
EF hinc inde ad T & N ut sit EN ad FT ut ½L ad CF; centroq; N & intervallo
AN describe circulum qui secet Ellipsin in P, ut supra. Arcus autem GTO
determinabitur quærendo ejus punctum aliquod T; quod constructionem in illo
casu accuratam reddet.
Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum, & motus
corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria
Cometarum incidit,) educere licet e puncto G rectam GI axi AB
perpendicularem, & in ea ratione ad GK quam habet area AVPS ad rectangulum
AK × AS; dein centro I & intervallo AI circulum describere. Hic enim
secabit Ellipsim in corporis loco quæsito P quamproxime. Et eadem
constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. Hæ autem
constructiones demonstrantur ut supra, & si Figura (vertice ulteriore B in
infinitum abeunte) vertatur in Parabolam, migrant in accuratam illam
constructionem Problematis XXII.
[Illustration]
Si quando locus ille P accuratius determinandus sit, inveniatur tum angulus
quidam B, qui sit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio æqualis
subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad Ellipseos diametrum AB; tum
etiam longitudo quædam L, quæ sit ad radium in eadem ratione inverse.
Quibus semel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per
constructionem superiorem (vel utcunq; conjecturam faciendo) cognoscatur
corporis locus P quam proxime. Demissaq; ad axem Ellipseos ordinatim
applicata PR, ex proportione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli
circumscripti AQB ordinatim applicata RQ, quæ sinus est anguli ACQ
existente AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis
invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis, id est, qui sit
ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum AP, ad tempus
revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D
ad angulum B, ut est sinus iste anguli ACQ ad Radium, & angulus E ad
angulum N - ACQ + D, ut est longitudo L ad longitudinem eandem L cosinu
anguli ACQ + ½D diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi
major. Postea capiatur tum angulus F ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ
+ E ad radium, tum angulus G ad angulum N - ACQ - E + F ut est longitudo L
ad Longitudinem eandem cosinu anguli ACQ + E + ½F diminutam ubi angulus
iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad
angulum B, ut est sinus anguli ACQ + E + G ad radium; & angulus I ad
angulum N - ACQ - E - G + H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem
cosinu anguli ACQ + E + G + ½H diminutam, ubi angulus iste recto minor est,
auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Deniq; capiatur
angulus ACq æqualis angulo ACQ + E + G + I &c. & ex cosinu ejus Cr &
ordinata pr, quæ est ab sinum qr ut Ellipseos axis minor ad axem majorem,
habebitur corporis locus correctus p. Siquando angulus N - ACQ + D
negativus est, debet signum + ipsius E ubiq; mutari in -, & signum - in +.
Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguli N - ACQ - E + F,
& N - ACQ - E - G + H negative prodeunt. Convergit autem series infinita
ACQ + E + G + I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra
progredi quam ad terminum secundum E. Et fundatur calculus in hoc
Theoremate, quod area APS sit ut differentia inter arcum AQ & rectam ab
umbilico S in Radium CQ perpendiculariter demissam.
[Illustration]
Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum C,
Vertex A, Umbilicus S & Asymptotos CK. Cognoscatur quantitas areæ APS
tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de positione rectæ SP,
quæ aream illam abscindat quamproxime. Jungatur CP, & ab A & P ad
Asymptoton agantur AI, PK Asymptoto alteri parallelæ, & per Tabulam
Logarithmorum dabitur Area AIKP, eiq; æqualis area CPA, quæ subducta de
triangulo CPS relinquet aream APS. Applicando arearum A & APS
semidifferentiam ½APS - ½A vel ½A - ½APS ad lineam SN, quæ ab umbilico S in
tangentem PT perpendicularis est, orietur longitudo PQ. Capiatur autem PQ
inter A & P, si area APS major sit area A, secus ad puncti P contrarias
partes: & punctum Q erit locus corporis accuratius. Et computatione
repetita invenietur idem accuratius in perpetuum.
Atq; his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum usibus
Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur.
Existentibus AO, OB, OD semiaxibus Ellipseos, (_Vide fig. pag. 109. 110._)
& L ipsius latere recto, quære tum angulum Y, cujus Tangens sit ad Radium
ut est semiaxium differentia AO - OD ad eorum summam AO + OD; tum angulum
Z, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia SH
& semiaxium differentia AO - OD ad triplum rectangulum sub OQ semiaxe
minore & AO - ¼L differentia inter semiaxem majorem & quartam partem
lateris recti. His angulis semel inventis, locus corporis sic deinceps
determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BP
descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) æqualem; & angulum V (primam
medii motus æquationem) ad angulum Y (æquationem maximam primam) ut est
sinus anguli T duplicati ad radium; atq; angulum X (æquationem secundam) ad
angulum Z (æquationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli T
duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum
sinus anguli T ad quadratum Radii. Angulorum T, V, X vel summæ T + X + V,
si angulus T recto minor est, vel differentiæ T + X - V, si is recto major
est rectisq; duobus minor, æqualem cape angulum BHP (motum medium æquatum;)
& si HP occurrat Ellipsi in P, acta SP abscindet aream BSP tempori
proportionalem quamproxime. Hæc Praxis satis expedita videtur, propterea
quod angulorum perexiguorum V & X (in minutis secundis, si placet,
positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit. Invento autem
angulo motus medii æquati BHP, angulus veri motus HSP & distantia SP in
promptu sunt per methodum notissimam Dris. _Sethi Wardi_ Episcopi
_Salisburiensis_ mihi plurimum colendi.
Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile
recta descendat vel recta ascendat, & quæ ad istiusmodi motus spectant,
pergo jam exponere.
* * * * *
SECT. VII.
_De Corporum Ascensu & Descensu Rectilineo._
Prop. XXXII. Prob. XXIV.
[Illustration]
_Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato
distantiæ locorum a centro, spatia definire quæ corpus recta cadendo
datis temporibus describit._
_Cas. 1._ Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sectionem
aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex
Propositionibus XI, XII, XIII & earum Corollariis constat. Sit sectio illa
Conica ARPB & umbilicus inferior S. Et primo si Figura illa Ellipsis est,
super hujus axe majore AB describatur semicirculus ADB, & per corpus
decidens transeat recta DPC perpendicularis ad axem; actisq; DS, PS erit
area ASD areæ ASP atq; adeo etiam tempori proportionalis. Manente axe AB
minuatur perpetuo latitudo Ellipseos, & semper manebit area ASD tempori
proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum, & orbe APB jam
coincidente cum axe AB & umbilico S cum axis termino B, descendet corpus in
recta AC, & area ABD evadet tempori proportionalis. Dabitur itaq; spatium
AC, quod corpus de loco A perpendiculariter cadendo tempore dato describit,
si modo tempori proportionalis capiatur area ABD, & a puncto D ad rectam AB
demittatur perpendicularis DC. _Q. E. I._
[Illustration]
_Cas. 2._ Sin figura superior RPB Hyperbola est, describatur ad eandem
diametrum principalem AB Hyperbola rectangula BD: & quoniam areæ CSP, CBfP,
SPfB sunt ad areas CSD, CBED, SDEB, singulæ ad singulas, in data ratione
altitudinum CP, CD; & area SPfB proportionalis est tempori quo corpus P
movebitur per arcum PB, erit etiam area SDEB eidem tempori proportionalis.
Minuatur latus rectum Hyperbolæ RPB in infinitum manente latere transverso,
& coibit arcus PB cum recta CB, & umbilicus S cum vertice B & recta SD cum
recta BD. Proinde area BDEB proportionalis erit tempori quo corpus C recto
descensu describit lineam CB. _Q. E. I._
_Cas. 3._ Et simili argumento si figura RPB Parabola est, & eodem vertice
principali B describatur alia Parabola BED, quæ semper maneat data, interea
dum Parabola prior in cujus perimetro corpus P movetur, diminuto & in
nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum linea CB, fiet segmentum
Parabolicum BDEB proportionale tempori quo corpus illud P vel C descendet
ad centrum B. _Q. E. I._
Prop. XXXIII. Theor. IX.
_Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco
quovis C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circulum
describentis, in dimidiata ratione quam CA, distantia corporis a
Circuli vel Hyperbolæ vertice ulteriore A, habet ad figuræ
semidiametrum principalem ½AB._
[Illustration]
Namq; ob proportionales CD, CP, linea AB communis est utriusq; figuræ RPB,
DEB diameter. Bisecetur eadem in O, & agatur recta PT quæ tangat figuram
RPB in P, atq; etiam secet communem illam diametrum AB (si opus est
productam) in T; sitq; SY ad hanc rectam & BQ ad hanc diametrum
perpendicularis, atq; figuræ RPB latus rectum ponatur L. Constat per Cor.
9. Theor. VIII. quod corporis in linea RPB circa centrum S moventis
velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem corporis intervallo SP circa
idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ½L × SP
ad SY quadratum. Est autem ex Conicis ACB ad CPq. ut 2AO ad L, adeoq; 2CPq.
× AO ÷ ACB æquale L. Ergo velocitates illæ sunt ad invicem in dimidiata
ratione CPq. × AO × SP ÷ ACB ad SY quad. Porro ex Conicis est CO ad BO ut
BO ad TO, & composite vel divisim ut CB ad BT. Unde dividendo vel
componendo fit BO - uel + CO ad BO ut CT ad BT, id est AC ad AO ut CP ad
BQ; indeq; CPq. × AO × SP ÷ ACB æquale est BQq. × AC × SP ÷ {AO × BC}.
Minuatur jam in infinitum figuræ RPB latitudo CP, sic ut punctum P coeat
cum puncto C, punctumq; S cum puncto B, & linea SP cum linea BC, lineaq; SY
cum linea BQ; & corporis jam recta descendentis in linea CB velocitas fiet
ad velocitatem corporis centro B interuallo BC circulum describentis, in
dimidiata ratione ipsius BQq. × AC × SP ÷ {AO × BC} ad SYq. hoc est
(neglectis æqualitatis rationibus SP ad BC & BQq. ad SYq.) in dimidiata
ratione AC ad AO. _Q. E. D._
_Corol._ Punctis B & S coeuntibus, fit TC ad ST ut AC ad AO.
Prop. XXXIV. Theor. X.
_Si figura BED Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in
loco quovis C æqualis est velocitati qua corpus centro B dimidio
intervalli sui BC circulum uniformiter describere potest._
[Illustration]
Nam corporis Parabolam RPB circa centrum S describentis velocitas in loco
quovis S (per Corol. 7. Theor. VIII) æqualis est velocitati corporis
dimidio intervalli SP circulum circa idem S uniformiter describentis.
Minuatur Parabolæ latitudo CP in infinitum eo, ut arcus Parabolicus PfB cum
recta CB, centrum S cum vertice B, & interuallum SP cum intervallo BP
coincidat, & constabit Propositio. _Q. E. D._
Prop. XXXV. Theor. XI.
_Iisdem positis, dico quod area figuræ DES, radio indefinito SD
descripta, æqualis sit areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti
figuræ DES æquante, circa centrum S uniformiter gyrando, eodem tempore
describere potest._
[Illustration]
Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam Cc cadendo
describere, & interea corpus aliud K, uniformiter in circulo OKk circa
centrum S gyrando, arcum Kk describere. Erigantur perpendicula CD, cd
occurrentia figuræ DES in D, d. Jungantur SD, SK, Sk & ducatur Dd axi AS
occurrens in T, & ad eam demittatur perpendiculum SY.
_Cas. 1._ Jam si figura DES Circulus est vel Hyperbola, bisecetur ejus
transversa diameter AS in O, & erit SO dimidium Lateris recti. Et quoniam
est TC ad TD ut Cc ad Dd, & TD ad TS ut CD ad SY, erit ex æquo TC ad TS ut
CD × Cc ad SY × Dd. Sed per Corol. Prop. 33. est TC ad ST ut AC ad AO, puta
si in coitu punctorum D, d capiantur linearum rationes ultimæ. Ergo AC est
ad AO, id est ad SK, ut CD × Cc ad SY × Dd. Porro corporis descendentis
velocitas in C est ad velocitatem corporis circulum intervallo SC circa
centrum S describentis in dimidiata ratione AC ad AO vel SK (per Theor.
IX.) Et hæc velocitas ad velocitatem corporis describentis circulum OKk in
dimidiata ratione SK ad SC per Cor. 6. Theor. IV. & ex æquo velocitas prima
ad ultimam, hoc est lineola Cc ad arcum Kk in dimidiata ratione AC ad SC,
id est in ratione AC ad CD. Quare est CD × Cc æquale AC × Kk, & propterea
AC ad SK ut AC × Kk ad SY × Dd, indeq; SK × Kk æquale SY × Dd, & ½SK × Kk
æquale ½SY × Dd, id est area KSk æqualis areæ SDd. Singulis igitur temporis
particulis generantur arearum duarum particulæ KSk, SDd, quæ, si magnitudo
earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent
æqualitatis, & propterea (per Corollarium Lemmatis IV) areæ totæ simul
genitæ sunt semper æquales. _Q. E. D._
[Illustration]
_Cas. 2._ Quod si figura DES Parabola sit, invenietur ut supra CD × Cc esse
ad SY × Dd ut TC ad ST, hoc est ut 2 ad 1, adeoq; ¼CD × Cc æqualem esse ½SY
× Dd. Sed corporis cadentis velocitas in C æqualis est velocitati qua
circulus intervallo ½SC uniformiter describi possit (per Theor. X.) Et hæc
velocitas ad velocitatem qua circulus radio SK describi possit, hoc est,
lineola Cc ad arcum Kk est in dimidiata ratione SK ad ½Sc, id est, in
ratione SK ad ½CD, per Corol. 6. Theorem. IV. Quare est ½SK × Kk æquale ¼CD
× Cc, adeoq; æquale ½SY × Dd, hoc est, area KSk æqualis Areæ SDd, ut supra.
_Quod erat demonstrandum._
Prop. XXXVI. Prob. XXV.
[Illustration]
_Corporis de loco dato A cadentis determinare tempora descensus._
Super diametro AS (distantia corporis a centro sub initio) describe
semicirculum ADS, ut & huic æqualem semicirculum OKH circa centrum S. De
corporis loco quovis C erige ordinatim applicatam CD. Junge SD, & areæ ASD
æqualem constitue Sectionem OSK. Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo
describet spatium AC eodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa
centrum S gyrando, describere potest arcum OK. _Quod erat faciendum._
Prop. XXXVII. Prob. XXVI.
_Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora
ascensus vel descensus._
[Illustration]
Exeat corpus de loco dato G secundum lineam ASG cum velocitate quacunq;. In
duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in circulo velocitatem,
qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S revolvi posset, cape CA
ad ½AS. Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A cadet ad
infinitam distantiam, quo in casu Parabola uertice S, axe SC, latere quovis
recto describenda est. Patet hoc per Theorema X. Sin ratio illa minor vel
major est quam 2 ad 1, priore casu Circulus, posteriore Hyperbola
rectangula super diametro SA describi debet. Patet per Theorema IX. Tum
centro S, intervallo æquante dimidium lateris recti, describatur circulus
HKk, & ad corporis ascendentis vel descendentis loca duo quævis G, C,
erigantur perpendicula GI, CD occurrentia Conicæ Sectioni vel circulo in I
ac D. Dein junctis SI, SD, fiant segmentis SEIS, SEDS Sectores HSK, HSk
æquales, & per Theorema XI. corpus G describet spatium GC eodem tempore quo
corpus K describere potest arcum Kk. Q. E. F.
Prop. XXXVIII. Theor. XII.
_Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiæ
locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia
descripta sunt arcubus arcuumq; sinibus versis & sinibus rectis
respective proportionales._
[Illustration]
Cadat corpus de loco quovis A secundum rectam AS; & centro virium S,
intervallo AS, describatur circuli quadrans AE, sitq; CD sinus rectus arcus
cujusvis AD, & corpus A, tempore AD, cadendo describet spatium AC, inq;
loco C acquisierit velocitatem CD. Demonstratur eodem modo ex Propositione
X. quo Propositio XXXII. ex Propositione XI. demonstrata fuit. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc æqualia sunt tempora quibus corpus unum de loco A cadendo
provenit ad centrum S, & corpus aliud revolvendo describit arcum
quadrantalem ADE.
_Corol. 2._ Proinde æqualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis
quibusvis ad usq; centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica
(per Corol. 3. Prop. IV.) æquantur.
Prop. XXXIX. Prob. XXVII.
_Posita cujuscunq; generis vi centripeta, & concessis figurarum
curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel
descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad
locum quemvis perveniet: Et contra._
[Illustration]
De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, deq; loco ejus E erigatur
semper perpendicularis EG, vi centripetæ in loco illo ad centrum C tendenti
proportionalis: Sitq; BFG linea curva quam punctum G perpetuo tangit.
Coincidat autem EG ipso motus initio cum perpendiculari AB, & erit corporis
velocitas in loco quovis E ut areæ curvilineæ ABGE latus quadratum.
_Q. E. I._ In EG capiatur EM lateri quadrato areæ ABGE reciproce
proportionalis, & sit ALM linea curva quam punctum M perpetuo tangit, &
erit tempus quo corpus cadendo describit lineam AE ut area curvilinea ALME.
_Quod erat Inveniendum._
Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datæ longitudinis, sitq;
DLF locus lineæ EMG ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta,
ut area ABGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa
in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E
scribantur V & V + I, erit area ABFD ut V^2, & area ABGE ut V^2 + 2VI +
I^2, & divisim area DFGE ut 2VI + I^2, adeoq; DFGE ÷ DE ut {2I × V + ½I} ÷
DE, id est, si primæ quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo DF
ut quantitas 2I × V ÷ DE, adeoq; etiam ut quantitatis hujus dimidium I × V
÷ DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola
illa directe & velocitas V inverse, estq; vis ut velocitatis incrementum I
directe & tempus inverse, adeoq; si primæ nascentium rationes sumantur, ut
I × V ÷ DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF vel EG
proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quæ sit ut areæ
ABGE latus quadratum. Q. E. D.
Porro cum tempus, quo quælibet longitudinis datæ lineola DE describatur,
sit ut velocitas, adeoq; ut areæ ABFD latus quadratum inverse; sitq; DL,
atq; adeo areæ nascens DLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus
ut area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per
Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea AE describitur ut area tota AME.
Q. E. D.
_Corol. 1._ Si P sit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua
uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem
acquirat in loco D æqualem velocitati quam corpus aliud vi quacunq; cadens
acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari DF capiatur DR, quæ sit ad DF
ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur rectangulum
PDRQ, eiq; æqualis abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus
alterum cecidit. Namq; completo rectangulo EDRS, cum sit area ABFD ad aream
DFGE ut VV ad 2V × I, adeoq; ut ½V ad I, id est, ut semissis velocitatis
totius ad incrementum velocitatis corporis vi inæquabili cadentis; &
similiter area PQRD ad aream DRSE ut semissis velocitatis totius ad
incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; sintq; incrementa
illa (ob æqualitatem temporum nascentium) ut vires generatrices, id est ut
ordinatim applicatæ DF, DR, adeoq; ut areæ nascentes DFGE, DRSE; erunt (ex
æquo) areæ totæ ABFD, PQRD ad invicem ut semisses totarum velocitatum, &
propterea (ob æqualitatem velocitatum) æquantur.
_Corol. 2._ Unde si corpus quodlibet de loco quocunq; D data cum velocitate
vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis centripetæ, invenietur
velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg, & capiendo
velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut est latus quadratum
rectanguli PQRD area curvilinea DFge vel aucti, si locus e est loco D
inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus quadratum rectanguli
solius PQRD, id est ut [sqrt]{PQRD + vel - DFge} ad [sqrt]PQRD.
_Corol. 3._ Tempus quoq; innotescet erigendo ordinatam em reciproce
proportionalem lateri quadrato ex PQRD + vel - DFge, & capiendo tempus quo
corpus descripsit lineam De ad tempus quo corpus alterum vi uniformi
cecidit a P & cadendo pervenit ad D, ut area curvilinea DLme ad rectangulum
2PD × DL. Namq; tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit lineam
PD est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam PE in dimidiata ratione
PD ad PE, id est (lineola DE jamjam nascente) in ratione PD ad PD + ½DE seu
2PD ad 2PD + DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam
DE ut 2PD ad DE, adeoq; ut rectangulum 2PE × DL ad aream DLME; estq; tempus
quo corpus utrumq; descripsit lineolam DE ad tempus quo corpus alterum
inæquabili motu descripsit lineam De ut area DLME ad aream DLme, & ex æquo
tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2PD × DL ad aream DLme.
* * * * *
SECT. VIII.
_De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscunq; centripetis
agitata revolventur._
Prop. XL. Theor. XIII.
_Si corpus, cogente vi quacunq; centripeta, moveatur utcunq;, & corpus
aliud recta ascendat vel descendat, sintq; eorum velocitates in aliquo
æqualium altitudinum casu æquales, velocitates eorum in omnibus
æqualibus altitudinibus erunt æquales._
[Illustration]
Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & moveatur corpus
aliud a V in linea curva VIKk. Centro C intervallis quibusvis describantur
circuli concentrici DI, EK rectæ AC in D & E, curvæq; VIK in I & K
occurrentes. Jungatur IC occurrens ipsi KE in N; & in IK demittatur
perpendiculum NT; sitq; circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN
quam minimum, & habeant corpora in D & I velocitates æquales. Quoniam
distantiæ CD, CI æquantur, erunt vires centripetæ in D & I æquales.
Exponantur hæ vires per æquales lineolas DE, IN; & si vis una IN, per Legum
Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT, vis NT, agendo secundum lineam NT
corporis cursui ITK perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in
cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, facietq;
ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, inq; via curvilinea ITKk,
progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem
altera IT, secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato
tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem.
Proinde corporum in D & I accelerationes æqualibus temporibus factæ (si
sumantur linearum nascentium DE, IN, IK, IT, NT rationes primæ) sunt ut
lineæ DE, IT: temporibus autem inæqualibus ut lineæ illæ & tempora
conjunctim. Tempora ob æqualitatem velocitatum sunt ut viæ descriptæ DE &
IK, adeoq; accelerationes, in cursu corporum per lineas DE & IK, sunt ut DE
& IT, DE & IK conjunctim, id est ut DE quad. & IT × IK rectangulum. Sed
rectangulum IT × IK æquale est IN quadrato, hoc est, æquale DE quadrato &
propterea accelerationes in transitu corporum a D & I ad E & K æquales
generantur. Æquales igitur sunt corporum velocitates in E & K & eodem
argumento semper reperientur æquales in subsequentibus æqualibus
distantiis. Q. E. D. Sed & eodem argumento corpora æquivelocia &
æqualiter a centro distantia, in ascensu ad æquales distantias æqualiter
retardabuntur. Q. E. D.
_Corol. 1._ Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento
quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri, &
corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; velocitates eorum in
eadem quacunq; altitudine æquales: erunt velocitates eorum in aliis
quibuscunq; æqualibus altitudinibus æquales. Namq; impedimento vasis
absolute lubrici idem præstatur quod vi transversa NT. Corpus eo non
retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo
discedere.
_Corol. 2._ Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia, ad
quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacunq; revolvens, deq;
quovis trajectoriæ puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum
ascendere possit; sitq; quantitas A distantia corporis a centro in alio
quovis Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsius A dignitas
quælibet A^{n - 1}, cujus Index n - 1 est numerus quilibet n unitate
diminutus; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut [sqrt]{nP^n -
nA^n}, atq; adeo datur. Namq; velocitas ascendentis ac descendentis (per
Prop. XXXIX.) est in hac ipsa ratione.
Prop. XLI. Prob. XXVIII.
_Posita cujuscunq; generis vi centripeta & concessis figurarum
curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in quibus
corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis._
[Illustration]
Tendat vis quælibet ad centrum C & invenienda sit Trajectoria VITKk. Detur
circulus VXY centro C intervallo quovis CV descriptus, centroq; eodem
describantur alii quivis circuli ID, KE trajectoriam secantes in I & K
rectamq; CV in D & E. Age tum rectam CNIX secantem circulos KE, VY in N &
X, tum rectam CKY occurrentem circulo VXY in Y. Sint autem puncta I & K
sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I, T & K ad k; sitq; A
altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem
acquirat æqualem velocitati corporis prioris in I; & stantibus quæ in
Propositione XXXIX, quoniam lineola IK, dato tempore quam minimo descripta,
est ut velocitas atq; adeo ut latus quadratum areæ ABFD, & triangulum ICK
tempori proportionale datur, adeoq; KN est reciproce ut altitudo IC, id
est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo IC nominetur A, ut Q ÷ A; quam
nominemus Z. Ponamus eam esse magnitudinem ipsius Q ut sit [sqrt]ABFD in
aliquo casu ad Z ut est IK ad KN, & erit semper [sqrt]ABFD ad Z ut IK ad
KN, & ABFD ad ZZ ut IK quad. ad KN quad. & divisim ABFD - ZZ ad ZZ ut IN
quad. ad KN quad. adeoq; [sqrt]{ABFD - ZZ} ad Z ut IN ad KN, & propterea A
× KN æquale Q × IN ÷ [sqrt]{ABFD - ZZ}. Unde cum YX × XC sit ad A × KN in
duplicata ratione YC ad KC, erit rectang. YX × XC æquale Q × IN × CX quad.
÷ AA [sqrt]{ABFD - ZZ}. Igitur si in perpendiculo DF capiantur semper Db,
Dc ipsis Q ÷ 2[sqrt]{ABFD - ZZ} & Q × CX quad. ÷ 2 AA [sqrt]{ABFD - ZZ}
æquales respective, & describantur curvæ lineæ ab, cd quas puncta b, c
perpetuo tangunt; deq; puncto V ad lineam AC erigatur perpendiculum Vad
abscindens areas curvilineas VDba, VDdc, & erigantur etiam ordinatæ Ez, Ex:
quoniam rectangulum Db × IN seu DbzE æquale est dimidio rectanguli A × KN,
seu triangulo ICK; & rectangulum Dc × IN seu Dc × E æquale est dimidio
rectanguli YX in CX, seu triangulo XCY; hoc est, quoniam arearum VDba, VIC
æquales semper sunt nascentes particulæ DbzE, ICK, & arearum VDcd, VCX
æquales semper sunt nascentes particulæ DExc, XCY, erit area genita VDba
æqualis areæ genitæ, VIC, adeoq; tempori proportionalis, & area genita VDdc
æqualis Sectori genito VCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus
discessit de loco V, dabitur area ipsi proportionalis VDba, & inde dabitur
corporis altitudo CD vel CI; & area VDcd, eiq; æqualis Sector VCX una cum
ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI & altitudine CI datur locus I, in
quo corpus completo illo tempore reperietur. Q. E. I.
_Corol. 1._ Hinc maximæ minimæq; corporum altitudines, id est Apsides
Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta
illa in quibus recta IC per centrum ducta incidit perpendiculariter in
Trajectoriam VIK: id quod fit ubi rectæ IK & NK æquantur, adeoq; ubi area
ABFD æqualis est ZZ.
_Corol. 2._ Sed & angulus KIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam
IC, ex data corporis altitudine IC expedite invenitur, nimirum capiendo
sinum ejus ad radium ut KN ad IK, id est ut Z ad latus quadratum areæ ABFD.
[Illustration]
_Corol. 3._ Si centro C & vertice principali V describatur sectio quælibet
Conica VRS, & a quovis ejus puncto R agatur Tangens RT occurrens axi
infinite producto CV in puncto T; dein juncta CR ducatur recta CP, quæ
æqualis sit abscissæ CT, angulumq; VCP Sectori VCR proportionalem
constituat; tendat autem ad centrum C vis centripeta cubo distantiæ locorum
a centro reciproce proportionalis, & exeat corpus de loco V justa cum
velocitate secundum lineam rectæ CV perpendicularem: progredietur corpus
illud in Trajectoria quam punctum P perpetuo tangit; adeoq; si conica
sectio CVRS Hyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellipsis sit,
ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus
quacunq; cum velocitate exeat de loco V, & perinde ut incæperit vel oblique
descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figura CVRS vel
Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Trajectoria augendo vel
minuendo angulum VCP in data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in
centrifugam versa, ascendet corpus oblique in Trajectoria VPQ quæ invenitur
capiendo angulum VCP Sectori Elliptico CVRC proportionalem, & longitudinem
CP longitudini CT æqualem: ut supra. Consequuntur hæc omnia ex Propositione
præcedente, per Curvæ cujusdam quadraturam, cujus inventionem ut satis
facilem brevitatis gracia missam facio.
Prop. XLII. Prob. XXIX.
_Data lege vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data
cum velocitate secundum datam rectam egressi._
Stantibus quæ in tribus Propositionibus præcedentibus: exeat corpus de loco
I secundum lineolam IT, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua
uniformi centripeta, de loco P cadendo acquirere posset in D: sitq; hæc vis
uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in I, ut DR ad DF. Pergat autem
corpus versus k; centroq; C & intervallo Ck describatur circulus ke
occurrens rectæ PD in e, & erigantur curvarum ALMm, BFGg, abzv, dcxw
ordinatim applicatæ em, eg, ev, ew. Ex dato rectangulo PDRQ, dataq; lege
vis centripetæ qua corpus primum agitatur, dantur curvæ lineæ BFGg, ALMm,
per constructionem Problematis XXVIII. & ejus _Corol. 1._ Deinde ex dato
angulo CIT datur proportio nascentium IK, KN & inde, per constructionem
Prob. XXVIII, datur quantitas Q, una cum curvis lineis abzv, dcxw: adeoq;
completo tempore quovis Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel Ck, tum
area Dcwe, eiq; æqualis Sector XCy, angulusq; XCy & locus k in quo corpus
tunc versabitur. Q. E. I.
Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a
centro variari secundum legem quamcunq; quam quis imaginari potest, in
æqualibus autem a centro distantiis esse undiq; eandem. Atq; hactenus
corporum in Orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum
in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.
* * * * *
SECT. IX.
_De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, deq; motu Apsidum._
Prop. XLIII. Prob. XXX.
_Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunq; circa centrum v
Showing first 200,000 characters. Full text: gutenberg.org/ebooks/28233